Функција преноса

Из Википедије, слободне енциклопедије
Функција преноса система.

Функција преноса, један је од начина математичког описа динамичког понашања система. Углавном се користи у теорији аутоматског управљања, комуникација и дигиталне обраде сигнала. Представља диференцијални оператор, који изражава однос између улаза и излаза линеарног стационарног система. Знајући улаз система и функцију преноса, може се реконструисати излазни сигнал. Једноставније речено, преносна функција је математички приказ односа између улаза и излаза динамичког система.

У временском домену, такав систем карактерише импулсни одзив, трансформацијом улазног сигнала U(t) у излазни сигнал Y(t). Са одговарајућом трансформацијом могу се заменити улазни сигнал у U(s) и излазни у Y(s), па је њихов однос функција преноса. У теорији управљања, функција преноса система дефинише се као однос Лапласове трансформације излазног сигнала и улаза, са нултим почетним условима.

Карактеристике линеарних стационарних система:
  • Линеарност подразумева да однос, између улаза и излаза

система, задовољава исту законитост, у функцији времена.
Технички речено, линеарни систем има следећа својства:
ако је сигнал на улазу

x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)

онда је сигнал на излазу система

y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)

Излаз система yi(t) је одговор на улазни сигнал (утицај) xi(t),
за било које константе A и B.

  • Стационарно, значи да је излаз система, као одговор на

било који улаз истог је временског кашњења, за било коју
апликацију. У ужем смислу, временско кашњење излаза биће
увек исто, у односу на улазни сигнал, услед утицаја система.

За континуалне сигнале, функција преноса помоћу Лапласа даје опште информације о систему, посебно информације о његовој стабилности. [1][2]

Линеарни стационарни системи[уреди]

При разматрању теорије линеарних стационарних система, усвојено је да је однос излазног и улазног сигнала функцију преноса:[2][3]

Лапласе.PNG
Веза између временског и фреквентног домена.
 W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} ,

Где је:

  •  U(s) \! — улазни сигнал (улаз)
  •  Y(s) \! — излазни сигнал (излаз, или одзив)

У овом облику, улаз и излаз, добијени су са Лапласовом трансформацијом сигнала у временском домену  u(t) \! и  y(t) \!, сагласно релацијама:

 U(s)  =  \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt  ,
 Y(s)  =   \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt .

Дискретна функција преноса[уреди]

За дигитални и дискретно непрекидни систем назива се дискретна функција преноса. Сигнал u(k) \! — улазни дискретни сигнал одговарајућег система, а y(k) \! — је дискретни излазни сигнал, k = 0, 1, 2, \dots \!. Тада се функција преноса система  W(z) \! може написати у облику:

 W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)} ,

Где је  U(z) \! и  Y(z) \!z-конверзија за сигнале  u(k) \! и  y(k) \! сагласно:

 U(z)  =  \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}  ,
 Y(z)  =   \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k} .

Однос са другим динамичким карактеристикама[уреди]

  • Амплитудно и фазно фреквентни одзив може се добити из функције преноса помоћу формалне замене са коплесном променљивом  s \! са  j \omega \! :
W(j \omega) \equiv W(s), s = j \omega \!.

Особине функције преноса[уреди]

1. За стационарне објекте преносна функција, сврстава се у рационалне функције са комплексном променљивом ( s \!):

W(s) = \frac{R(s)}{Q(s)} = \frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + \dots + b_m}{a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n}.

2. Именилац функције преноса је карактеристичан полином система. Полови функције преноса су корени карактеристичног полинома.

3. У физички реалним системима, ред бројиоца преносне функције m \!, не може прећи ред имениоца n \!.

4. Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (пре Лапласове трансформације).

Матрица функције преноса[уреди]

За вишеструки улаз и вишеструки излаз, уводи се систем матрице функције преноса. Матрица функције преноса од улаза вектора система  U(t) \! и од вектора излаза  Y(t) \!, представља матрицу  W = \{w_{i, j}\} \! , где су њени елементи i \!, у томе реду j \!. Друга колона представља функцију преноса система од i \!, од координате вектора излаза система, на вектор улаза j \!.

Функција преноса система са повратном спрегом

Са повратном спрегом[уреди]

Када систем управљања поседује повратну спрегу (слика десно), тада су уочљиве две функције преноса:

  • Функција преноса система са затвореном повратном спрегом, која се назива
    функција спрегнутог преноса
 W_s(s) = \frac{G} {1+GH} ,
  • функција преноса система са отвореном повратном спрегом, која се назива
    функција повратног преноса[2]
\ W(s) =\ GH .

Управљање у инжињерству[уреди]

У инжињерској теорији управљања, функција преноса је изведена помоћу Лапласове трансформације.

Функција преноса је примарни алат, који се користи у класичном управљању у енергетици. Међутим, он се показао гломазан за анализу система са више улаза и са више излаза, и у великој мери замењен је са приказом стања простора за овакве системе. Упркос томе, матрица функције преноса може се увек добити за било који линеарни систем, како би се анализирала динамика и друга својства. Сваки елеменат матрице је функција преноса, односи се на променљиви улаз и излаз.

Оптика[уреди]

У оптици, функција преноса означава могућност модулације оптичког преноса контраста.

Пример, када се посматра серија црно-белих светлосних пруга, нацртаних са специфичном просторном фреквенцијом, квалитет слике може опадати. Бела пруга бледи док црне постају светлије.

функција преноса модулације ( \mathrm{MTF}) у одређеним просторним учестаностима је дефинисана:

 \mathrm{MTF}(f) = \frac{M({slika})} {M({izvor})}

Где модулација (М) зависи од следеће слике или интезитета осветљења:

 M = \frac{(L_\mathrm{max} - L_\mathrm{min} )} {(L_\mathrm{max} + L_\mathrm{min})}

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Передаточная функция, Приступљено 9. 04. 2011.г.
  2. ^ а б в Funkcija prenosa linearnog sistema, Приступљено 9. 04. 2011.г.
  3. ^ Introduction to Control System Technology, Robert N. Bateson, Prentice-Hall Inc, 1999, ISBN 0-13-895483-6, pp. 5.

Спољашње везе[уреди]