Параболоид

Параболод

У геометрији, параболоид је квадратна површина која има тачно једну осу симетрије и нема центар симетрије. Термин "параболоид" изведен је од параболе, што се односи и на конусни пресјек који има слично својство симетрије.

Параболоид је геометријска површина која настаје ротацијом параболе по њеној оси.

Параболоид

Параболоид је геометријска површина другог реда. Постоје две врсте параболоида: елиптични и хиперболички.

Елиптични параболоид

Елиптични параболоид.

Елиптични параболоид је тело чија је база елиптичног облика и има минималну или максималну тачку.

Алгебарски модел Елиптични параболоид с врхом у тачки $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ и равни симетрије паралелним с равни $x=0$ и $y=0$ има једначину: $z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$

где је $pq>0$

Ротациони параболоид

Ротациони параболоид је тело које настаје ротацијом параболе око сопствене осе и круга који чини базу тела. Алгебарски модел Ротациони параболоид са врхом у тачки $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ је специјалан случај елиптичног параболида, за који важи да је $p=q$, то значи за ротациони параболоид са осом ротације паралелној са осом з важи: $2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}$

Волумен ротационог параболоида: $V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h$ где је $\rho$ полупречник кружне базе и $h$ је висина параболоида

Хиперболички параболоид

Хиперболички параболоид.

Алгебарски модел Хиперболички параболоид са врхом у тачки $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ и равни симетрије паралелне са равни $x=0$ и $y=0$ има једначину: $z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}-{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$

где је $pq>0$

Особине

У области хиперболичког параболоида постоје два система правих, при чему свака права једног система пресеца сваку праву другог система, или произвољне две праве једног система се мимоилазе. За параболоид са центром у тачки $[0,0,0]$ могу се оба система правих записати као

$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$

$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$

$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$

$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$