S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Angerova funkcija
J
ν
(
z
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)}
z
2
y
′
′
+
z
y
′
+
(
z
2
−
ν
2
)
y
=
(
z
−
ν
)
sin
(
π
z
)
/
π
{\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi z)/\pi }
Imenovana je u čast nemačkoga matematičara Karla Teodora Angera , koji je 1855 . prvi uveo Angerovu funkciju.
Angerova funkcija je oblika:
J
ν
(
z
)
=
1
π
∫
0
π
cos
(
ν
θ
−
z
sin
θ
)
d
θ
{\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }
Angerova funkcija je blisko povezana sa Beselovim funkcijama .
Veberova funkcija
E
ν
(
z
)
{\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)}
z
2
y
′
′
+
z
y
′
+
(
z
2
−
ν
2
)
y
=
−
(
(
z
+
ν
)
+
(
z
−
ν
)
cos
(
π
z
)
)
/
π
.
{\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z))/\pi .}
Veberova funkcija je oblika:
E
ν
(
z
)
=
1
π
∫
0
π
sin
(
ν
θ
−
z
sin
θ
)
d
θ
{\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }
Između Angerove i Veberove funkcije postoji veza:
sin
(
π
ν
)
J
ν
(
z
)
=
cos
(
π
ν
)
E
ν
(
z
)
−
E
−
ν
(
z
)
{\displaystyle \sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)}
−
sin
(
π
ν
)
E
ν
(
z
)
=
cos
(
π
ν
)
J
ν
(
z
)
−
J
−
ν
(
z
)
{\displaystyle -\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z)}
U slučaju da je
ν
{\displaystyle \nu }
Struveovih funkcija .
Struveove funkcije celobrojnoga reda mogu da se prikažu pomoću Veberovih funkcija E n n nenegativni celi broj onda je:
E
n
(
z
)
=
1
π
∑
k
=
0
[
n
−
1
2
]
Γ
(
k
+
1
/
2
)
(
z
/
2
)
n
−
2
k
−
1
Γ
(
n
−
1
/
2
−
k
)
H
n
{\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}
E
−
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
∑
k
=
0
[
n
−
1
2
]
Γ
(
n
−
k
−
1
/
2
)
(
z
/
2
)
−
n
+
2
k
+
1
Γ
(
k
+
3
/
2
)
H
−
n
.
{\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}
![{\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8961b7a2742207fc052ad365047604f6f8aad312)
![{\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d579072e41fc2192afef7163a14dc50e5c7c38)