Banah-Tarski paradoks

Može li se lopta rastaviti na konačan broj skupova tačaka od kojih se mogu sastaviti dve identične lopte?

Banah-Tarski paradoks je teorema iz teorije skupova i geometrije koja tvrdi sledeće: Ako je data proizvoljna lopta u trodimenzionalnom prostoru, onda postoji razlaganje (dekompozicija) lopte na konačan broj disjunktnih skupova, od kojih se onda mogu sastaviti dve identične kopije originalne lopte. Sklapanje je proces koji podrazumeva samo pomeranje delova kao i njihovo rotiranje, bez menjanja njihovog oblika. Međutim, sami delovi nisu „geometrijska tela“ u uobičajenom smislu, već beskonačna disperzija (rasejanje) tačaka. Rekonstrukcija može da radi sa samo pet delova.

Jači oblik teoreme podrazumeva da se bilo koja dva „osnovna“ geometrijska objekta (kao na primer, mala i velika lopta) mogu rastaviti i ponovo sastaviti tako da se od jednog objekta dobije drugi i obrnuto. Neformalno, „grašak se može iseckati i od dobijenih delova sastaviti Sunce“, pa je teorema poznata i kao „paradoks graška i Sunca“.

Banah-Tarski teorema je nazvana paradoks jer je u suprotnosti sa osnovnom geometrijskom intuicijom. „Dupliranje lopte“, rastavljanjem na delove, njihovim kretanjem i rotacijom, bez ikakvog istezanja, savijanja i dodavanja novih tačaka, deluje nemoguće, jer bi sve navedene operacije, intuitivno, trebalo da očuvaju zapreminu delova. Intuicija govori da navedene operacije čuvaju zapreminu i to nije matematički apsurd, već činjenica koja je uključena u formalnu definiciju zapremine. Međutim, to u ovom slučaju nije primenljivo, jer je nemoguće odrediti zapreminu razmatranih podskupova kada su izabrani sa velikom poroznošću. Ponovno spajanje daje zapreminu koja se razlikuje od početne.

Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovog rezultata zavisi od izabranih aksioma iz teorije skupova. Može se dokazati korišćenjem aksiome izbora, koja omogućava konstrukciju nemerljivih skupova, odnosno kolekcije tačaka koje nemaju zapreminu u uobičajenom smislu, i čija konstrukcija zahteva neprebrojiv broj izbora.

Godine 2005. pokazano je da se prilikom rastavljanja delovi mogu tako izabrati da u neprekidnom pokretu dođu na svoje mesto bez ikakvog sudaranja.

Publikacija

U članku objavljenom 1924. godine Stefan Banah i Alfred Tarski su dali konstrukciju paradoksalne dekompozicije, na osnovu ranijeg rada Đuzepea Vitalija koji se odnosi na jedinični interval (zatvoren inteval [0,1]) i na paradoksalnoj dekompoziciji sfere Feliksa Hauzdorfa. Oni su diskutovali niz povezanih pitanja u vezi dekompozicije podskupova Euklidskog prostora različitih dimenzija dokazali sledeću opštiju tvrdnju, jaku formu Banah-Tarski paradoksa:

Ako su data dva proizvoljna ograničena podskupa A i B neprazne unutrašnjosti, najmanje trodimenzionalnog Euklidovog prostora, tada postoje particije za A i B u konačan broj disjunktnih podskupova А=А₁ ∪...∪А_k, B=B₁ ∪...∪B_k tako da su za svako i između 1 i k skupovi A_i i B_i kongruentni.

Neka je A originalna lopta i B unija dve dobijene kopije od originalne lopte. Tada, na osnovu prethodne tvrdnje možemo podeliti originalnu loptu A na određeni broj delova i onda ih rotirati i translirati na takav način da dobijemo ceo skup B, koji sadrži dve kopije A.

Jaka forma Banah-Tarski paradoksa ne važi u jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom prostoru, ali su Banah i Tarski pokazali da analogno tvrđenje važi pod uslovom da je dozvoljena dekompozicija na prebrojivo mnogo podskupova. Razlika između jednodimenzionalnog i dvodimenzionalnog prostora s jedne strane, i trodimenzionalnog i višedimenzionalnog prostora s druge strane, je u bogatijoj strukturi grupe Е(n) Euklidskih izometrija u višim dimenzijama, koja je rešiva za n=1,2 i sadrži slobodne grupe sa dva generatora za n≥3.

Skica dokaza

Skica dokaza koja je izložena nije identična onom koji su dali Banah i Tarski već sličnom dokazu. U suštini, paradoksalna dekompozicija lopte se odvija u četiri koraka:

1. Pronaći paradoksalnu dekompoziciju slobodne grupe u dva generatora.
2. Pronaći grupu rotacija u trodimenzionalnom prostoru koja je izomorfna slobodnoj grupi u dva generatora.
3. Iskoristiti paradoksalnu dekompoziciju te grupe i aksiomu izbora za dobijanje paradoksalne dekompozicije šuplje jedinične sfere.
4. Proširiti ovu dekompoziciju sfere do dekompozicije jedinične lopte.

Spoljašnje veze

• The Banach-Tarski Paradox Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
• Irregular Webcomic! #2339 Dejvid Morgan-Mar daje netehnično objašnjenje paradoksa sa postupnom demonstracijom kako kreirati dve sfere iz jedne.
• Objašnjenje paradoksa na Jutjubu