Gibsov paradoks

Gibsov paradoks je paradoks u statističkoj fizici odnosi se na paradoks da entropija zatvorenog sistema raste i time se narušava drugi zakon termodinamike. Razrešenje paradoksa se sastoji u tome da se čestice istog gasa posmatraju kao nerazličive i time se pri permutaciji dve čestice istog gasa stanje sistema ne menja.

Formulacija paradoksa

U sudu u kome su u početnom trenutku dva vrsta gasa razdeljena pregradom, uklanjanjem pregrade dolazi do mešanja gasova.

Neka je sud pregradom podeljen na dva dela tako da se u jednom delu nalazi idealni gas sa makrostanjem (N₁, V₁, T), a u drugom delu idealan gas (N₂, V₂, T), gde je broj čestica u oba gasa velik. Temperature gasova će biti jednake, jer pregrada ne dozvoljava samo prolazak čestica, a sistem se u početnom stanju nalazi u termodinamičkoj ravnoteži.

Početne entropije svakog od sistema su:

$S_{i}=N_{i}k\ln {V}+{\frac {3}{2}}N_{i}k(1+\ln {\frac {2\pi m_{i}kT}{h^{2}}}),$

a entropija nakon uklanjanja pregrade je:

$S=\sum _{i}S_{i}=\sum _{i}S_{i}N_{i}k\ln {V_{i}}+{\frac {3}{2}}N_{i}k(1+\ln {\frac {2\pi m_{i}kT}{h^{2}}}).$

Promena entropije koja je nazvana entropija mešanja je:

$\Delta S=S-S_{1}-S_{2}=k\left(N_{1}\ln {\frac {V_{1}+V_{2}}{V_{1}}}+N_{2}\ln {\frac {V_{1}+V_{2}}{V_{2}}}\right)>0.$

Ako je, dodatno, i koncentracija gasova jednaka, te je: ${\frac {N_{1}}{V_{1}}}={\frac {N_{2}}{V_{2}}}={\frac {N_{1}+N_{2}}{V_{1}+V_{2}}},$ dobija se da je promena entropije:

$\Delta S=k\left(N_{1}\ln {\frac {N_{1}+N_{2}}{N_{1}}}+N_{2}\ln {\frac {N_{1}+N_{2}}{N_{2}}}\right)>0.$

Ovaj rezultat je logičan i očekivan ako su u pitanju različiti gasovi, jer uklanjanjem pregrade dolazi do ireverzibilnog procesa, te je očekivan porast entropije. Paradoks se javlja u slučaju kada se na različitim stranama suda nalaze isti gasovi (m_1 = m_2 = m) istih koncentracija, jer se dobija da je isto

$\Delta S>0,$

dok, s druge strane, dolazi do reverzibilnog procesa ako se ukloni pregrada iz posude u kojoj se na obe strane nalazi ista vrsta idealnog gasa iste koncentracije, te je očekivana promena entropije:

$\Delta S=0.$

Takođe, ako se posmatra sud u kome je isti gas iste koncentracije podeljen pregradom na dva dela, očekuje se da je enropija sistema jednaka zbiru entropija podsistema, što nije slučaj ako je entropija mešanja veća od nule. Zbog toga izgleda da entropija zatvorenog sistema raste i time je narušen drugi zakon termodinamike.

Razrešenje paradoksa

Rešenje paradoksa se sastoji u tome da se uvede nerazličivost čestica jednog gasa. Time se dobija da se pri permutaciji dve identične čestice stanje ne menja. Pošto je posmatrani gas sa N jednakih čestica, među svim stanjima sistema postoji N! identičnih stanja. Na taj način, zapremina faznog prostora koju gas zauzima treba da se podeli sa N!. Račun se može pojednostaviti korišćenjem Stirlingove aproksimacije ln(N!) ≈ N ln(N) - N (pošto je N veliko), te se dobija da je opšta formula za entropiju:

$S=kN\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+kN\left({\frac {5}{2}}+{\frac {3}{2}}\ln {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right).$

Korišćenjem ove formule za entropiju ne dolazi do paradoksa, jer se za slučaj kada se u posudi na obe strane nalazi ista vrsta idealnog gasa iste koncentracije, za promenu entropije dobija:

$\Delta S=0.$

Vidi još

• Maksvelov demon