Karakteristični polinom

Karakteristični polinom kvadratne matrice A reda n je polinom koji se dobija izračunavanjem determinante karakteristične matrice tI_n-A, gde je I_n kvadratna jedinična matrica reda n, a t je neodređena.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {tI_{n}-A} ={\begin{bmatrix}t-a_{11}&-a_{12}&\cdots &-a_{1n}\\-a_{21}&t-a_{22}&\cdots &-a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots &t-a_{nn}\end{bmatrix}}$

Karakteristični polinom je od koristi za izračunavanje nekoliko važnih svojstava matrice, kao što su sopstvene vrednosti. Nule karakterističnog polinoma su sopstvene vrednosti matrice.

Primer

Recimo da želimo da izračunamo karakteristični polinom matrice

$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Treba da izračunamo determinantu od

$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}$

a ona je

$(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.\,\!$

Ovo je karakteristični polinom od A.

Svojstva

Svi realni polinomi neparnog stepena imaju bar jedan realan broj kao koren, tako da za neparno n, svaka realna matrica ima najmanje jednu sopstvenu vrednost. Mnogi realni polinomi parnog stepena nemaju realni koren, ali fundamentalna teorema algebre tvrdi da svaki polinom stepena n ima n kompleksnih korena.

Slične matrice imaju iste karakteristične polinome. Međutim, dve matrice koje imaju iste karakteristične polinome ne moraju obavezno da budu slične. Matrica A i transponovana matrica A^T imaju iste karakteristične polinome.

Kejli-Hamiltonova teorema tvrdi da ako ubacimo A u karakteristični polinom p_A(t) dobićemo nula-matricu:

$p_{A}(A)=0$.

Jednostavno, svaka matrica zadovoljava svoju karakterističnu jednačinu. Kao posledica ovoga, možemo pokazati da minimalni polinom od A deli karakteristični polinom od A.