Košijeva integralna teorema
 | Ovaj članak možda zahteva čišćenje i/ili prerađivanje kako bi se zadovoljili standardi kvaliteta Vikipedije. Problem: Ubaciti odgovarajuću sintaksu za matematičke formule, dodati unutrašnje veze itd. (mart 2021) |
 |
U matematici, Košijeva sastavna teorema (takođe poznata kao Koši-Goursat teorema) u kompleksnoj analizi, nazvana po Ogistenu Luju Košiju, je važna izjava o linijskim integralima za holomorfne funkcije u kompleksnoj ravni. U suštini, ona kaže da ako dve različite putanje povežu iste dve tačke, a funkcija je holomorfnie svuda "između" dve putanje, tada će integrali funkcije te biti isti.
Teorema se obično formuliše za zatvorene staze na sledeći način: Neka je U otvoren podskup od C, koji se jednostavno povezuje, neka f: U → C bude holomorfna funkcija, i neka \ \! \ gama bude otklonjivi put u U čija je početna tačka jednaka njenoj krajnjoj tački. Tada : ∮ ⨍(z) dz=0
Precizna ( homologna ) verzija može se konstatovati pomoću krivudavih brojeva . Broj namotaja zatvorene krive oko tačke na krivoj je integral f ( z ) / [ 2 iπ ] , gde je f ( z ) = 1 / ( z -) oko krive . To je ceo broj . Ukratko, staza integrala duž Jordan krive funkcije holomorfne u unutrašnjosti krive je nula . Umesto jedne zatvorene putanje možemo razmotriti linearnu kombinaciju zatvorenih puteva, gde su skalari celi brojevi. Takva kombinacija se naziva zatvoren lanac, a jedan definiše integral duž lanca, kao linearna kombinacija integrala preko pojedinačnih staza . Zatvoren lanac se naziva ciklus u regionu ako je homologna nuli u regionu, to jest, broj namotaja, izražena integralom od 1 / ( z -) nad zatvorenim lancom, je nula za svaku tačku koja nije u regionu. To znači da zatvoreni lanac ne uvija oko tačke izvan regiona. U tom slučaju Košijeva teorema se može izraziti: integral jedne holomorfne funkcije u otvorenom skupu uzet oko jednog ciklusa u otvorenom skupu je nula . Ova verzija je od ključnog značaja za rigorozna izvođenja Laurent serije i Košijeve formule ostatka bez uključivanja bilo kakvih fizičkih pojmova kao što su posekotine ili poprečne deformacije. Verzija omogućava produženje Košijeve teoreme da se umnožava - povezana analitičkim regionom.
Dokaz
[uredi | uredi izvor]Ako pretpostavimo da su parcijalni izvodi jedne holomorfne funkcije kontinuirahe, Košijeva integralna teorema se može dokazati kao direktna posledica Grinove teoreme i činjenice da stvarni i imaginarni delovi ⨍=u+iv mora da zadovoljit Koši-Rimanove jednačine u regionu omećenja \γ , i štaviše u otvorenom komšiluku U ovog regiona. Koši izvodi ovaj dokaz, ali je kasnije dokazao Goursat bez korišćenja tehnika iz vektora , odnosno kontinuiteta parcijalnih derivata. Možemo slomiti integrand ⨍ kao i diferencijalni dz u svojim realnim i imaginarnim komponente:
⨍=u+iv
dz=dx+idy
U ovom slučaju imamo :
∲γ ⨍(z)dz= ∲γ (u+iv)(dx+idy)= ∲γ (udx-vdy) + i ∲γ (vdx+udy)
Po grinovoj teoriji, onda možemo zameniti integrale blizu zatvrene  strukture sa integralnom oblasti u domenu D koji je uslovljen γ, sledi:
∲γ (u dx- v dy)= ∬D (-∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy
∲γ (u dx+ v dy)= ∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy
Međutim, s obzirom da su realni i imaginarni deo analitičke funkcije u domenu D, u i v moraju zadovoljiti Koši-Rieman jednačinu, sledi :
∂u/∂/x=∂v/∂y
∂u/∂y=-∂v/∂/x
Iz ovoga zaključujemo da su njihovi integrali jednaki nuli :
∬D (-∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy= ∬D (∂u/∂/y - ∂u/∂y) dxdy=0
∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy= ∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂x) dxdy=0
A to nam daje željeni reultat :
∮ ⨍(z) dz=0