Огистен Луј Коши

Из Википедије, слободне енциклопедије
Огистен Луј Коши

Augustin-Louis Cauchy 1901.jpg
Огистен Луј Коши

Општи подаци
Датум рођења 21. август 1789.
Место рођења Париз (Француска)
Датум смрти 23. мај 1857.(1857-05-23)(67 год.)
Место смрти Со (Француска)
Рад
Поље математика

Огистен Луј Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; Париз, 21. август 1789Со, 23. мај 1857) истакнути француски математичар, професор универзитета у Паризу, један је од твораца теорије функција комлексне променљиве. Објавио радове из разних области математике и њених примена (теорија бројева, математичка анализа, теорија диференцијалних и парцијалних једначина, теорија полиедара, теоријска и небеска механика, математичка физика и др.), постављајући и решавајући нове проблеме и уводећи нове појмове и нове методе. Такође је развијао теорију таласа у оптици и радио је на теорији еластичности. Увео је следеће терминеу математици: модул и аргумент комлексног броја, конјуговани комплексни бројеви. Његова главна дела су: Курс анализе, Примена анализе у геометрији.

Кошијев критеријум конвергенције[уреди]

Кошијев општи критеријум конвергенције: за конвергенцију било којег бројевног или функционалног реда неопходно је и довољно да сваки сегмент тог реда a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p} постаје произвољно мали ако су n и p довољно велики.

Кошијева интегрална формула[уреди]

Коши је најпознатији по развијању теорије комплексне промењиве. Његово прво дело у овој области је тзв. " Кошијева интегрална формула" која се може математички записати као:


 \oint_C f(z)dz = 0,

где је f(z) функција на затвореној области C у комплексној равни.

Кошијев проблем[уреди]

Кошијев проблем је проблем налажења оног решења диференцијалне једначине које одговара задатим почетним условима.

Ресидум функције комплексне промењиве[уреди]

Leçons sur le calcul différentiel, 1829

1826. године Коши је дао формалну дефиницију ресидума функције. Овај концепт се односи на функције које имају полове —изоловане сингуларитете, т.ј. тачке у којима функција иде у позитивну или негативну бесконачност. Ако се комплексна функција f(z) може развити у околини сингуларне тачке a као


f(z) = \phi(z) + \frac{B_1}{z-a} + \frac{B_2}{(z-a)^2} + \cdots + \frac{B_n}{(z-a)^n},\quad
B_i, z,a \in \mathbb{C},

где је φ(z) аналитичка функција, онда функција f има пол реда n у тачки a. Ако је n = 1, онда је то пол првог реда, ако је n = 2 онда је то пол другог реда итд.

Коефицијент B1 се зове по Кошију ресидум функције f у a. Ако f није регуларно у a, онда је ресидум функције f 0 у тачки a. У случају пола првог реда, ресидум функције f(z) је једнак :


\underset{z=a}{\mathrm{Res}} f(z) = \lim_{z \rightarrow a} (z-a) f(z),

где је B1 замењено модерном нотацијом за ресидум.

Основна Кошијева итегрална формула[уреди]

1831. године Коши је објавио формулу познату као Основна Кошијева интегрална формула,


f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz,

где је f(z) аналитичка функција у области C и где је a комплексан број који се налази негде у наведеној области.

Кошијев теорем о остацима (ресидуму)[уреди]

Исте године Коши је извео теорем о ресидуму,


 \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz = \sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\mathrm{Res}} f(z),

где је сума ресидума по свим половима n функције f(z) на области C једнака интегралу по затвореној области С помноженим са : \frac{1}{2\pi i} .

Ови Кошијеви доприноси представљају саму срж "Теорије функција комплексне промењиве" коју данас изучавају физичари и инжињери електротехнике.

Спољашње везе[уреди]