Огистен Луј Коши

Огистен Луј Коши
Огистен Луј Коши
Рођење	(1789-08-21)21. август 1789. Париз, Француска
Смрт	23. мај 1857.(1857-05-23) (67 год.) Со, Француска
Поље	математика
Школа	École des Ponts ParisTech, Лицеј Анри IV, Политехничка школа

Огистен Луј Коши (франц. Augustin Louis Cauchy; Париз, 21. август 1789 — Со, 23. мај 1857) истакнути француски математичар, професор универзитета у Паризу, један је од твораца теорије функција комлексне променљиве. Објавио радове из разних области математике и њених примена (теорија бројева, математичка анализа, теорија диференцијалних и парцијалних једначина, теорија полиедара, теоријска и небеска механика, математичка физика и др.), постављајући и решавајући нове проблеме и уводећи нове појмове и нове методе. Такође је развијао теорију таласа у оптици и радио је на теорији еластичности. Увео је следеће терминеу математици: модул и аргумент комлексног броја, конјуговани комплексни бројеви. Његова главна дела су: Курс анализе, Примена анализе у геометрији.

Кошијев критеријум конвергенције

Кошијев општи критеријум конвергенције: за конвергенцију било којег бројевног или функционалног реда неопходно је и довољно да сваки сегмент тог реда $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}$ постаје произвољно мали ако су $n$ и $p$ довољно велики.

Кошијева интегрална формула

Коши је најпознатији по развијању теорије комплексне промењиве. Његово прво дело у овој области је тзв. " Кошијева интегрална формула" која се може математички записати као:

$\oint _{C}f(z)dz=0,$

где је f(z) функција на затвореној области C у комплексној равни.

Кошијев проблем

Кошијев проблем је проблем налажења оног решења диференцијалне једначине које одговара задатим почетним условима.

Ресидум функције комплексне промењиве

Leçons sur le calcul différentiel, 1829

Године 1826. Коши је дао формалну дефиницију ресидума функције. Овај концепт се односи на функције које имају полове —изоловане сингуларитете, т.ј. тачке у којима функција иде у позитивну или негативну бесконачност. Ако се комплексна функција f(z) може развити у околини сингуларне тачке a као

$f(z)=\phi (z)+{\frac {B_{1}}{z-a}}+{\frac {B_{2}}{(z-a)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(z-a)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,$

где је φ(z) аналитичка функција, онда функција f има пол реда n у тачки a. Ако је n = 1, онда је то пол првог реда, ако је n = 2 онда је то пол другог реда итд.

Коефицијент B₁ се зове по Кошију ресидум функције f у a. Ако f није регуларно у a, онда је ресидум функције f 0 у тачки a. У случају пола првог реда, ресидум функције f(z) је једнак :

${\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z),$

где је B₁ замењено модерном нотацијом за ресидум.

Основна Кошијева итегрална формула

Године 1831. Коши је објавио формулу познату као Основна Кошијева интегрална формула,

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz,$

где је f(z) аналитичка функција у области C и где је a комплексан број који се налази негде у наведеној области.

Кошијев теорем о остацима (ресидуму)

Исте године Коши је извео теорем о ресидуму,

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),$

где је сума ресидума по свим половима n функције f(z) на области C једнака интегралу по затвореној области С помноженим са :${\frac {1}{2\pi i}}$.

Ови Кошијеви доприноси представљају саму срж "Теорије функција комплексне промењиве" коју данас изучавају физичари и инжињери електротехнике.

Литература

• Barany, Michael (2013), „Stuck in the Middle: Cauchy's Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor”, Notices of the American Mathematical Society, 60 (10): 1334—1338, doi:10.1090/noti1049 
• Barany, Michael (2011), „God, king, and geometry: revisiting the introduction to Cauchy's Cours d'analyse”, Historia Mathematica, 38, doi:10.1016/j.hm.2010.12.001 
• Bradley, Robert E.; Sandifer, Charles Edward (2010-01-14) [2009]. Buchwald, J. Z., ур. Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Cauchy, Augustin-Louis. Springer Science+Business Media, LLC. стр. 10, 285. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN 2009932254. doi:10.1007/978-1-4419-0549-9. 1441905499, 978-1-4419-0549-9. Приступљено 2015-11-09. 
• Boyer, C.: The concepts of the calculus. Hafner Publishing Company, 1949.
• Cauchy, Augustin-Louis (1821). „Analyse Algébrique”. Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique (на језику: French). 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi. CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)[1] (reissued by Cambridge University Press, 2009; ISBN 978-1-108-00208-0)
• Cauchy, Augustin-Louis, Oeuvres completes; Gauthier-Villars, 1882 (reissued by Cambridge University Press, 2009; ISBN 978-1-108-00317-9)
• Freudenthal, Hans (2008). „Cauchy, Augustin-Louis.”. Ур.: Gillispie, Charles. Dictionary of Scientific Biography. New York: Scribner & American Council of Learned Societies. ISBN 978-0-684-10114-9. 
• Benis-Sinaceur Hourya. Cauchy et Bolzano. In: Revue d'histoire des sciences. 1973, Tome 26 n°2. pp. 97–112.
• Laugwitz, D. (1989), „Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820”, Arch. Hist. Exact Sci., 39 (3): 195—245, doi:10.1007/BF00329867 .
• Gilain, C. (1989), „Cauchy et le Course d'Analyse de l'École Polytechnique”, Bulletin de la Société des amis de la Bibliothèque de l'École polytechnique, 5: 3—145 
• Grabiner, Judith V. (1981). The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8. 

Спољашње везе

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Огистен Луј Коши”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• Семинарски рад: „Огистен Луј Коши“. (језик: српски)
• Cauchy criterion for convergence
• Œuvres complètes d'Augustin Cauchy Académie des sciences (France). Ministère de l'éducation nationale.
• Augustin-Louis Cauchy – Œuvres complètes (in 2 series) Gallica-Math
• Огистен Луј Коши на сајту MGP (језик: енглески)
• Augustin-Louis Cauchy – Cauchy's Life by Robin Hartshorne
• Th. M. Rassias, Topics in Mathematical Analysis, A Volume Dedicated to the Memory of A. L. Cauchy, World Scientific Co., Singapore, New Jersey, London, 1989.
•  „Cauchy, Augustin Louis”. New International Encyclopedia. 1905.