Огистен Луј Коши

Огистен Луј Коши
Огистен Луј Коши
Датум рођења	(1789-08-21)21. август 1789.
Место рођења	Париз Француска
Датум смрти	23. мај 1857.(1857-05-23) (67 год.)
Место смрти	Со Француска
Поље	математика

Огистен Луј Коши (франц. Augustin Louis Cauchy; Париз, 21. август 1789 — Со, 23. мај 1857) истакнути француски математичар, професор универзитета у Паризу, један је од твораца теорије функција комлексне променљиве. Објавио радове из разних области математике и њених примена (теорија бројева, математичка анализа, теорија диференцијалних и парцијалних једначина, теорија полиедара, теоријска и небеска механика, математичка физика и др.), постављајући и решавајући нове проблеме и уводећи нове појмове и нове методе. Такође је развијао теорију таласа у оптици и радио је на теорији еластичности. Увео је следеће терминеу математици: модул и аргумент комлексног броја, конјуговани комплексни бројеви. Његова главна дела су: Курс анализе, Примена анализе у геометрији.

Кошијев критеријум конвергенције

Кошијев општи критеријум конвергенције: за конвергенцију било којег бројевног или функционалног реда неопходно је и довољно да сваки сегмент тог реда $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}$$a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}$ постаје произвољно мали ако су $n$$n$ и $p$$p$ довољно велики.

Кошијева интегрална формула

Коши је најпознатији по развијању теорије комплексне промењиве. Његово прво дело у овој области је тзв. " Кошијева интегрална формула" која се може математички записати као:

$\oint _{C}f(z)dz=0,$$\oint _{C}f(z)dz=0,$

где је f(z) функција на затвореној области C у комплексној равни.

Кошијев проблем

Кошијев проблем је проблем налажења оног решења диференцијалне једначине које одговара задатим почетним условима.

Ресидум функције комплексне промењиве

Leçons sur le calcul différentiel, 1829

1826. године Коши је дао формалну дефиницију ресидума функције. Овај концепт се односи на функције које имају полове —изоловане сингуларитете, т.ј. тачке у којима функција иде у позитивну или негативну бесконачност. Ако се комплексна функција f(z) може развити у околини сингуларне тачке a као

$f(z)=\phi (z)+{\frac {B_{1}}{z-a}}+{\frac {B_{2}}{(z-a)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(z-a)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,$$f(z)=\phi (z)+{\frac {B_{1}}{z-a}}+{\frac {B_{2}}{(z-a)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(z-a)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,$

где је φ(z) аналитичка функција, онда функција f има пол реда n у тачки a. Ако је n = 1, онда је то пол првог реда, ако је n = 2 онда је то пол другог реда итд.

Коефицијент B₁ се зове по Кошију ресидум функције f у a. Ако f није регуларно у a, онда је ресидум функције f 0 у тачки a. У случају пола првог реда, ресидум функције f(z) је једнак :

${\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z),$${\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z),$

где је B₁ замењено модерном нотацијом за ресидум.

Основна Кошијева итегрална формула

1831. године Коши је објавио формулу познату као Основна Кошијева интегрална формула,

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz,$$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz,$

где је f(z) аналитичка функција у области C и где је a комплексан број који се налази негде у наведеној области.

Кошијев теорем о остацима (ресидуму)

Исте године Коши је извео теорем о ресидуму,

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),$${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),$

где је сума ресидума по свим половима n функције f(z) на области C једнака интегралу по затвореној области С помноженим са :${\frac {1}{2\pi i}}$${\frac {1}{2\pi i}}$.

Ови Кошијеви доприноси представљају саму срж "Теорије функција комплексне промењиве" коју данас изучавају физичари и инжињери електротехнике.

Спољашње везе

• О'Конор, Џон; Робертсон, Едмунд. „Огистен Луј Коши - биографија”. Архива историје математике Мектјутор (на језику: енглеском).  CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Семинарски рад: „Огистен Луј Коши“. (српски)