Kramersova teorema

Kramersova teorema se ogleda u hiperfinoj strukturi atoma deuterijuma. Osnovno stanje ovog atoma čine dublet (dvostruko degenerisan energetski nivo) i kvadruplet (četvorostruko degenerisan energetski nivo).

Kramersova teorema u fizici je tvrdnja da kod sistema koji imaju simetriju vremenske inverzije i koji se sastoje od neparnog broja fermiona, svi energetski nivoi su najmanje dvostruko degenerisani.

Pri delovanju električnog polja koje održava simetriju vremenske inverzije, sva energetska stanja postaju degenerisana, dok to ne važi kod delovanja magnetnog polja jer ono narušava simetriju vremenske inverzije.

Kramersova teorema se ne može primeniti na atom vodonika jer se on sastoji od jednog elektrona i jednog protona što je paran broj fermiona. Međutim, kod atoma deuterijuma (1 elektron, 1 proton i 1 neutron), osnovno stanje hiperfine strukture sadrži jedan dvostruko degenerisan i jedan četvorostruko degenerisan energetski nivo, što je u skladu sa Kramersovom teoremom.

Dokaz

Kod sistema koji poseduju simetriju vremenske inverzije ${\hat {\mathbf {T} }}$, ako je $|n\rangle$neko energetsko stanje sistema, onda i ${\hat {\mathbf {T} }}|n\rangle$mora biti stanje sistema. Teoretski, ta dva stanja bi se mogla poklapati, odnosno operator vremenske inverzije ${\hat {\mathbf {T} }}$bi mogao preslikavati neko stanje u samo sebe. Međutim, kod sistema koji imaju neparan broj fermiona, ukupan spin je poluceli ($S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\dots$), te operator vremenske inverzije ${\hat {\mathbf {T} }}$pri delovanju na spinove:

${\hat {\mathbf {T} }}:\mathbf {S} \to -\mathbf {S}$

ih preokreće i rezultujuće stanje neće biti isto kao početno, jer će se ukupni spinski magnetni broj promeniti: $m\to -m$.

Za važenje teoreme potrebno je da postoji neparan broj fermiona tako da njihov ukupni spinski magnetni broj $m$nikada nije 0 te se delovanjem operatora ${\hat {\mathbf {T} }}$uvek dobija stanje različito od početnog. Time kod sistema koji imaju simetriju vremenske inverzije i sastoje se od neparnog broja fermiona svi energetski nivoi su najmanje dvostruko degenerisani.

Dokaz preko osobine antiunitarnosti operatora

Operator vremenske inverzije ima opšti oblik ${\hat {\mathbf {T} }}={\hat {\mathbf {U} }}{\hat {\mathbf {K} }}$, gde je ${\hat {\mathbf {U} }}$unitarni operator, a ${\hat {\mathbf {K} }}$operator kompleksne konjugacije.

Za sisteme sa neparnim brojem fermiona koji imaju poluceli ukupni spin, operator ${\hat {\mathbf {T} }}$mora da zadovoljava dodatan uslov:

${\hat {\mathbf {T} }}^{2}=-1$

iz čega sledi da operator vremenske inverzije ${\hat {\mathbf {T} }}$ mora biti anitunitaran:

$U=-U^{T}$.

Ako sistem poseduje simetriju vremenske inverzije ${\hat {\mathbf {T} }}$, onda za svako svojstveno stanje $\psi$i ${\hat {\mathbf {T} }}\psi$mora biti svojstveno stanje sistema. Ako su ta dva svojstvena stanja ortogonalna, onda su različita i energetski spektar je dvostruko degenerisan.

Kako je

$\langle \psi |{\hat {\mathbf {T} }}\psi \rangle =\sum _{n,m}\psi _{m}^{*}U_{mn}\psi _{n}^{*}=-\sum _{n,m}\psi _{m}^{*}U_{nm}\psi _{n}^{*}=-\langle \psi |{\hat {\mathbf {T} }}\psi \rangle$

jedino rešenje je da je su stanja $\psi$i ${\hat {\mathbf {T} }}\psi$ortogonalna:

$\langle \psi |{\hat {\mathbf {T} }}\psi \rangle =-\langle \psi |{\hat {\mathbf {T} }}\psi \rangle =0$

Time kod sistema koji imaju simetriju vremenske inverzije i sastoje se od neparnog broja fermiona svi energetski nivoi su najmanje dvostruko degenerisani.