Mjerljivi prostor

U matematici, mjerljivi prostor ili Borelov prostor je osnovni objekt u teoriji mjera. Sastoji se od skupa i σ-algebre na ovom skupu i daje informacije o skupovima koji će se mjeriti.

Definicija

Razmotrimo neisprazni skup $X$ i σ-algebru ${\mathcal {A}}$ na $X$. Tada se torka $(X,{\mathcal {A}})$ naziva mjerljivim prostorom.

Imajte na umu da za razliku od prostora za mjerenje, nije potrebna nikakva mjera za mjerljivi prostor.

Primjer

Pogledajte skup

$X=\{1,2,3\}.$

Jedna moguća σ-algebra bi bila

${\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.$

Tada je $(X,{\mathcal {A}}_{1})$ mjerljivi prostor. Druga moguća σ-algebra bila bio partitivni skup na $X$:

${\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).$

Sa ovim, drugi mjerljivi prostor na skupu $X$ je dat sa $(X,{\mathcal {A}}_{2})$.

Obični mjerljivi prostori

Ako je $X$ konačan ili prebrojiv beskonačan, σ-algebra je većinu vremena partitivni skup na $X$, tako da je ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$. To dovodi do mjernog prostora $(X,{\mathcal {P}}(X))$.

Ako je $X$ topološki prostor, σ-algebra je najčešće Borelova σ-algebra ${\mathcal {B}}$, tako da je ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)$. To dovodi do mjerljivog prostora $(X,{\mathcal {B}}(X))$ koji je zajednički za sve topološke prostore kao što su realni brojevi $\mathbb {R}$.

Dvosmislenost sa Borelovim prostorima

Termin Borelov prostor se koristi za različite tipove mjerljivih prostora. Može se odnositi na

• bilo koji mjerljivi prostor, tako da je sinonim za mjerljivi prostor kao što je gore definisano
• mjerljivi prostor koji je Borel izomorfan mjerljivom podskupu realnih brojeva (iz Borelove σ-algebre)