Тополошки простор

Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи десни пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.

Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.

Дефиниција

Тополошки простор је скуп X заједно са $\tau$, колекцијом подскупова од X, који задовољавају следеће аксиоме:

1. празан скуп и X су у $\tau$.
2. унија свих колекција скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.
3. пресек сваке коначне колекције скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.

Колекција $\tau$ се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада може бити реч о било којим математичким објектима. Тополошки простор у коме су тачке у ствари функције се назива функцијски простор. Скупови у $\tau$ се називају отвореним скуповима, а њихови комплементи у X се називају затвореним скуповима. Подскуп од X може да не буде ни отворен ни затворен, било отворен или затворен, или обоје.

Примери

1. X = {1, 2, 3, 4} и колекција $\tau$ = {{}, {1, 2, 3, 4}} само два подскупа од X захтевана аксиомама граде топологију која се назива тривијална топологија.
2. X = {1, 2, 3, 4} и колекција $\tau$ = {{}, {2}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}, {1,2,3,4}} шест подскупова од X граде још једну топологију.
3. X = {1, 2, 3, 4} и колекција $\tau$ = P(X) (партитивни скуп од X) граде трећу топологију, дискретну топологију.
4. X = Z, скуп целих бројева, и колекција $\tau$ једнака свим коначним подскуповима целих бројева плус Z није топологија, јер (на пример) унија свих коначних скупова који не садрже нулу је бесконачна али не покрива цео Z, па стога није у $\tau$.

Еквивалентне дефиниције

Постоји још много еквивалентних начина да се дефинише тополошки простор. (Другим речима, свака од следећих дефиниција дефинише категорију еквивалентну категорији тополошких простора која је дата горе.) На пример, користећи де Морганове законе, аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:

1. Празан скуп и X су затворени.
2. Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
3. Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.

Коришћењем ових аксиома, други начин за дефинисање тополошког простора је као скуп X заједно са колекцијом $\tau$ подскупова од X који задовољавају следеће аксиоме:

1. Празан скуп и X су у $\tau$.
2. Пресек сваке колекције скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.
3. Унија сваког пара скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.

По овој дефиницији, скупови у топологији $\tau$ су затворени скупови, а њихови комплементи у X су отворени скупови.

Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.

околина тачке x је сваки скуп који садржи отворен скуп који садржи x. Систем околине на x се састоји од свих околина од x. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.

Поређење топологија

За више информација погледајте чланак Поређење топологија

Више топологија може да постоји над скупом тако да граде тополошки простор. Када је сваки скуп из топологије $\tau_1$ истовремено у топологији $\tau_2$, каже се да је $\tau_2$ финија од $\tau_1$, а да је $\tau_1$ грубља од $\tau_2$. Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији. Термини већа и мања се понекад користе узмеђу финија и грубља (тим редом). Термини јача и слабија се такође понекад користе у литератури али са различитим значењима, па у овом случају увек треба да се води рачуна о конвенцији коју је аутор користио.

Непрекидне функције

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако је инверзна слика сваког отвореног скупа отворена. Ово је покушај да се ухвати интуитивно јасно схватање да не постоје прекиди и раздвајања у функцији. Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији инверз је такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.

У теорији категорија, Top, категорија тополошких простора са тополошким просторима као објектимаи непрекидним функцијама као морфизмима је једна од фундаменталних математичких категорија. Покушај да се класификују објекти ове категорије (до на хомеоморфизам) по инваријантама је мотивисао настанак читавих области истраживања, међу којима су између осталих и теорија хомотопија, теорија хомологија, K-теорија.

Види још

• простор Колмогорова (T₀)
• T1 простор (T₁)
• Хаусдорфов простор (T₂)
• потупно Хаусдорфов простор и Урисонов простор (T_2½)
• регуларан простор и Регуларан Хаусдорфов простор (T₃)
• простор Тихонова и потпуно регуларан простор (T_3½)
• нормалан Хаусдорфов простор (T₄)
• потпуно нормалан Хаусдорфов простор (T₅)
• савршено нормалан Хаусдорфов простор (T₆)
• простор (математика)

Литература

• Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 

Спољашње везе

Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Тополошки простор

• Тополошки простори на сајту PlanetMath