Тополошки простор
Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.
Дефиниција[уреди | уреди извор]
Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци , који задовољавају следеће особине:
- празан скуп и X налазе се у .
- унија свих колекција скупова из је такође скуп у .
- пресек сваке коначне колекције скупова из је такође у .
Колекција се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.
Скупови у су отворен скупови, а њихови комплементи у X су затворени скупови. Произвољни подскуп од X може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.
Покривач скупа X је скуп подскупова у X такав да њихова унија даје цео скуп X. Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.[1]
Околина тачке x је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази x. Систем околине на x се састоји од свих околина од x. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.
- Специјални тополошки простори у зависности од топологије :
- Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп X и колекција = {, X} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
- Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа X и колекције = P(X), која је највећи могући подскуп партитивног скупа од X, тј. овде је топологија цео партитивни скуп од X.
- Код бесконачних скупова, када је нпр. X = и колекција је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа , овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из Х који се не налазе у .
Еквивалентне дефиниције[уреди | уреди извор]
Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:
Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције подскупова од X који задовољавају следеће аксиоме:
- Празан скуп и X су у .
- Пресек сваке колекције скупова из је такође у .
- унија сваког пара скупова из је такође у .
Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:
- Празан скуп и X су затворени.
- Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
- Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.
По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији су затворени скупови, а њихови комплементи у X су отворени скупови.
Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.
Поређење топологија[уреди | уреди извор]
Над истим скупом може постојати више топологија тако да граде различите тополошке просторе.
Топологија је грубља (мања, слабија) од , односно, топологија је финија (већа, јача) од топологије ако важи да је сваки скуп из топологије истовремено садржан у топологији . Овакво поређење топологија се записује: > .
Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.
Непрекидне функције[уреди | уреди извор]
За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако је инверзна слика сваког отвореног скупа отворена.
Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.
Види још[уреди | уреди извор]
Референце[уреди | уреди извор]
- ^ Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић, приступљено: 17.10.2014.
Литература[уреди | уреди извор]
- Armstrong, M. A.; Основна топологија (Basic Topology), Springer; прво издање (1. мај, 1997). ISBN 978-0-387-90839-7..
- Bredon, Glen E., Топологија и геометрија (Topology and Geometry) (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; 1st edition (17. октобар 1997). ISBN 978-0-387-97926-7..
- Bourbaki, Nicolas; Елементи математике: Општа топологија (Elements of Mathematics: General Topology), Addison-Wesley (1966).
- Čech, Eduard; Скупови тачака (Point Sets), Academic Press (1969).
- Fulton, William, Алгебарска топологија (Algebraic Topology), (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; прво издање (5. септембар, 1997). ISBN 978-0-387-94327-5..
- Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; прво издање (1. јун, 1968). ISBN 978-0-07-037988-6..
- Munkres, James; Топологија (Topology), Prentice Hall; друго издање (28. децембар, 1999). ISBN 978-0-13-181629-9..
- Runde, Volker; Укус топологије (универзитетски текст) A Taste of Topology (Universitext), Springer; прво издање (6. јул, 2005). ISBN 978-0-387-25790-7..
- Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Контрапримери у топологији (Counterexamples in Topology), Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 978-0-03-079485-8..
- Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. Проверите вредност парамет(а)ра за датум:
|date=
(помоћ)
Спољашње везе[уреди | уреди извор]
![]() |
Тополошки простор на Викимедијиној остави. |
- Тополошки простори на сајту PlanetMath, приступљено: 17. октобар 2014.