Osnove matematike

Osnove matematike je nauka proučavanja filozofske i logičke i/ili algoritamske osnove matematike, ili, u širem smislu, matematičko istraživanje onoga što leži u osnovi filozofskih teorija o prirodi matematike. U ovom poslednjem smislu, razlika između osnova matematike i filozofije matematike ispada prilično nejasna. Osnove matematike mogu se zamisliti kao proučavanje osnovnih matematičkih pojmova (skupova, funkcija, geometrijska figura, brojeva itd.) i kako oni formiraju hijerarhije složenijih struktura i koncepta, posebno fundamentalno važnih struktura koje čine jezik matematike. (formule, teorije i njihovi modeli koji daju značenje formulama, definicijama, dokazima, algoritmima, itd.) koji se takođe nazivaju i metamatematičkim konceptima, sa pogledom na filozofske aspekte i jedinstvo matematike. Traganje za osnovama matematike je centralno pitanje filozofije matematike; apstraktna priroda matematičkih objekata predstavlja posebne filozofske izazove.

Osnova matematike u celini nema za cilj da sadrži osnove svake matematičke teme. Uopšteno govoreći, osnove oblasti proučavanja odnosi se na manje-više sistematsku analizu njegovih najosnovnijih ili fundamentalnih koncepta, njegovog konceptualnog jedinstva i njegovog prirodnog uređenja ili hijerarhije koncepata, što može pomoći da se poveže sa ostatkom ljudiskog znanja. Razvoj, nastajanje i razjašnjenje temelja može doći kasnije u istoriji neke oblasti.

Matematika je uvek igrala posebnu ulogu u naučnoj misli, služeći od davnina kao model istine i strogosti za racionalno istraživanje, i dajući alate ili čak osnovu za druge nauke (posebno fiziku). Mnogi razvoji matematike ka višim apstrakcijama u 19. veku doneli su nove izazove i paradokse, podstičući na dublje i sistematičnije ispitivanje prirode i kriterijuma matematičke istine, kao i na ujedinjenje različitih grana matematike u koherentnu celinu.

Sistematska potraga za osnovama matematike započela je krajem 19. veka i formirala je novu matematičku disciplinu pod nazivom matematička logika, koja je kasnije imala jake veze sa teorijskom informatikom . Prošla je kroz niz kriza sa paradoksalnim rezultatima, sve dok se otkrića nisu stabilizovala tokom 20. veka kao veliko i koherentno telo matematičkog znanja sa nekoliko aspekata ili komponenti ( teorija skupova, teorija modela, teorija dokaza, itd.), čija su detaljna svojstva i moguće varijante i dalje aktivno polje istraživanja. Njegov visok nivo tehničke sofisticiranosti inspirisao je mnoge filozofe da pretpostave da može poslužiti kao model ili obrazac za temelje drugih nauka.

Literatura

• Avigad, Jeremy (2003) „Number theory and elementary arithmetic”. CiteSeerX 10.1.1.105.6509 . , Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
• Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
• Goodman, N.D. (1979), "„Mathematics as an Objective Science”. CiteSeerX 10.1.1.461.6921 . ", in Tymoczko (ed., 1986).
• Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Hersh, R. (1979), "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics", in (Tymoczko 1986).
• Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Translated, "The New Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Meta-Mathematics (Tenth impression 1991 izd.). Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9. 

In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.

• Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5–22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
• —, "What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed., 1986).
• Sudac, Olivier (april 2001). „The prime number theorem is PRA-provable”. Theoretical Computer Science. 257 (1–2): 185—239. doi:10.1016/S0304-3975(00)00116-X . CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Troelstra, A. S. (no date but later than 1990), "A History of Constructivism in the 20th Century", A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
• Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed., 1986).
• —,(ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998.
• van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
• Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Translated, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
• Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.

Spoljašnje veze

• Mediji vezani za članak Osnove matematike na Vikimedijinoj ostavi
• „Philosophy of mathematics”. Internet Encyclopedia of Philosophy. 
• Logic and Mathematics
• Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
• A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin. Chaitin, G. J. (1999). „A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics”. arXiv:chao-dyn/9909001 .