Fibonačijevi polinomi

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Fibonačijevi polinomi definišu se sledećom rekurzijom:

Smatraju se generalizacijom Fibonačijevoga niza.

Svojstva i Lukasovi polinomi[uredi | uredi izvor]

Generirajuća funkcija Fibonačijevih polinoma je:

Prvih nekoliko Fibonačijevih polinoma:

Lukasovi polinomi koriste istu rekurziju, ali sa nešto drugačijim početnim vrednostima:

Generirajuća funkcija Lukasovih polinoma je:

Prvih nekoliko Lukasovih polinoma je:

Postoje i druga svojstva tih polinoma:

Kombinatorna interpretacija[uredi | uredi izvor]

Uz pomoć poludijagonala Paskalovoga trougla mogu da se ičitaju Fibonačijevi brojevi (crveno označeni). Oni predstavljaju sumu brojeva na poludijagonali.

Ako je F(n,k) koeficijent od xk u Fn(x), tako da je:

onda F(n,k) predstavlja broj načina na koji se može dobiti n−1 sumom samo pomoću 1 i 2, a pri tome se 1 koristi k puta. Tako je npr. F(6,3)=4, jer se 5 može dobiti na 4 načina:1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1 i 2+1+1+1.

Na osnovu toga sledi da je F(n,k) jednak binomnom koeficijentu:

Uz pomoć te relacije Fibonačijevi brojevi mogu da se očitavaku iz Paskalovoga trougla.

Literatura[uredi | uredi izvor]