Фибоначијев низ

С Википедије, слободне енциклопедије
Поплочавање квадратима чије су странице по дужини сукцесивни Фибоначијеви бројеви

Фибоначијев низ је математички низ примећен у многим физичким, хемијским и биолошким појавама. Име је добио по италијанском математичару Фибоначију. Представља низ бројева у коме збир претходна два броја у низу дају вредност наредног члана низа. Индексирање чланова овог низа почиње од нуле а прва два члана су му 0 и 1.[1]

То јест, након две почетне вредости, сваки следећи број је збир два претходника. Први Фибоначијеви бројеви (секвенца A000045 у OEIS), такође означени као Fn, за n = 0, 1, … , су:[2]

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Понекад се за овај низ сматра да почиње на F1 = 1, али уобичајеније је укључити F0 = 0. У неким старијим књигама, вредност је изостављена, такода секвенца почиње са и понављање је валидно за n > 2.[3][4]

Фибоначијеви бројеви су именовани по Леонарду од Писе, познатом као Фибоначи, иако су раније описани у Индији.[5][6]

Ако су познати Фибоначијеви бројеви и онда се може наћи број по формули

Такође важи

Уопштено

Фибоначијева спирала: апроксимација златне спирале створене цртањем кружних лукова који повезују супротне углове квадрата у Фибоначијевим плочицама; (погледајте претходну слику)

Фибоначијеви бројеви су у снажној вези са златним пресеком: Бинетова формула изражава n-ти Фибоначијев број у смислу n и златног пресека, и подразумева да однос два узастопна Фибоначијева броја тежи златном пресеку како се n повећава.

Фибоначијеви бројеви су добили име по италијанском математичару Леонарду из Пизе, касније познатом као Леонардо Фибоначи. У својој књизи Liber Abaci из 1202. године, Фибоначи је представио овај низ западноевропској математици,[7] иако је тај низ био описан раније у индијској математици,[8][9][10][11] већ 200. године пре нове ере у раду аутора Пингала о набрајању могућих образаца санскртске поезије насталих од слогова две дужине.

Бинетова формула[уреди | уреди извор]

Бинетова формула је експлицитно изражавање вредности као функције од

где је златни пресек. У том случају и су решења једначине .

Из Бинетове формуле за све , следи да је за најближе целом броју тј.

За је .

Формула се може аналитички приказати на следећи начин

при томе вреди за сваки комплексни број

Однос према златном односу[уреди | уреди извор]

У теорији бројева велику улогу игра број који је корен једначине i

Из Бинетове формуле

Где је

Даље се добија

и

За све вредности a, b дефинише се низ

Задовољена је и релација

Нека су и изабрани тако да је и онда добијени низ мора бити Фибоначијев низ.

Бројеви и задовољавају релацију

Односно важи

Узимајући i као почетне варијабле добија се

Односно

.

Посматрајмо сада

За , broj најближи цео број је , који се може добити из функције

или

Слично ако је F>0 Фибоничијев број онда може одредити његов индекс унутар низа.

где се може израчунати кориштењем логаритма друге базе

Пример

Особине[уреди | уреди извор]

Највећи заједнички делитељ два Фибоначијева броја је број чији је индекс једнак највећем заједничком делитељу њихових индекса

Последице

је дјељив сa ако и само ако је дељиво са (без )

  • је дељиво са само ако је
  • је дељиво са само ако је
  • је дељиво са само ако је

је прост ако је прост број са искључењем

Обратно не важи тј ако је прост број не мора бити прост

Његов полином има корене и

Године 1964, Коши је доказао да су у низу Фибоначијевих бројева једини квадрати бројеви са индексом 0,,1,2,12 , , ,

Генерирајућа функција низа фибоначијевих бројева је

Фибоначијев низ бројева[уреди | уреди извор]

Првих 21 Фибоначијевих бројева за [12]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Овај низ бројева може се проширити и на негативне бројеве.

Низ бројева за [13]

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

Идентитети[уреди | уреди извор]

  • (см. рис.)

Опште формуле

, као и ,

где матрице имају облик , i је имагинарна јединица.

За било који

Последица

Формула за поновно добијање Фибоначијевих бројева је

Фибоначијев низ у природи[уреди | уреди извор]

Фибоначијев низ се често повезује и са бројем фи (phi), или бројем којег многи зову и „Божанским односом”. Ако се узме један део Фибоначијевог низа, 2, 3, 5, 8, те подели сваки следећи број с њему претходним, добиће се увек број приближан броју 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Број 1,618 јесте број фи. Односи мера код биљака, животиња и људи, са запањујућом прецизношћу се приближава броју фи.

Следи неколико примера броја фи и његове повезаности са Фибоначијем и природом:

  1. У пчелињој заједници, кошници, увек је мањи број мужјака пчела него женки пчела. Када би поделили број женки са бројем мужјака пчела, увек би добили број фи.
  2. Наутилус (главоножац), у својој конструкцији има спирале. Када би се израчунао однос сваког спиралног пречника према следећем добио би се број фи.
  3. Семе сунцокрета расте у супротним спиралама. Међусобни односи пречника ротације је број фи.
  4. Ако се измери човечија дужину од врха главе до пода, затим се то подели с дужином од пупка до пода, добија се број фи.

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Lucas 1891, стр. 3.
  2. ^ Sloane, N. J. A. (ур.). „Sequence A000045”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  3. ^ Beck & Geoghegan 2010.
  4. ^ Bóna 2011, стр. 180.
  5. ^ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  6. ^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  7. ^ Pisano 2002, стр. 404–05.
  8. ^ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science, Indiana University Press, стр. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 
  9. ^ Singh, Parmanand (1985), „The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India”, Historia Mathematica, 12 (3): 229—44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7Слободан приступ 
  10. ^ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming, 1, Addison Wesley, стр. 100, ISBN 978-81-7758-754-8, »Before Fibonacci wrote his work, the sequence Fn had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns... both Gopala (before 1135 AD) and Hemachandra (c. 1150) mentioned the numbers 1,2,3,5,8,13,21 explicitly [see P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed)...« 
  11. ^ Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming, 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, стр. 50, ISBN 978-0-321-33570-8, »it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats. ...there are exactly Fm+1 of them. For example the 21 sequences when m = 7 are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)« 
  12. ^ The Fibonacci series: 03. april 2011.
  13. ^ Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane Архивирано 2018-02-01 на сајту Wayback Machine

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]