9-j simbol

Vignerov 9-j simbol definisao je Eugen Vigner kao sumu preko 6-j simbola:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}$.

Vezanje ugaonih momenata

Vezanjem dva ugaona momenta dobijaju se Klebš-Gordanovi koeficijenti. Tri ugaona momenta možemo da vežemo na nekoliko načina. Četiri ugaona momenta možemo da vežemo isto tako na više načina. Npr. $\mathbf {j} _{1}$, $\mathbf {j} _{2}$, $\mathbf {j} _{4}$ i$\mathbf {j} _{5}$ mogu da se vežu tako da najpre vežemo

$\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}=\mathbf {j} _{3}$ i

$\mathbf {j} _{4}+\mathbf {j} _{5}=\mathbf {j} _{6}$

a onda:

$\mathbf {j} _{3}+\mathbf {j} _{6}=\mathbf {j} _{9}$

Mi to pišemo u skraćenom obliku kao:

$|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle .$

Drugi način da se vežu 4 ugaona momenta je:

$\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{4}=\mathbf {j} _{7}$ i

$\mathbf {j} _{2}+\mathbf {j} _{5}=\mathbf {j} _{8}$

a onda:

$\mathbf {j} _{7}+\mathbf {j} _{8}=\mathbf {j} _{9}$

odnosno u skraćenom obliku:

$|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle .$

Transformacija između dva oblika je:

$|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle =$

$\sum _{j_{3}}\sum _{j6}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle \langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .$

Pri tome 9-j simbol simbol može da se definiše kao:

$[(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)]^{\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=$

$\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .$

Ortogonalnost

9-j simboli zadovoljavaju relaciju ortogonalnosti:

$\sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}\Delta (j_{1}j_{2}j_{3})\Delta (j_{4}j_{5}j_{6})\Delta (j_{3}j_{6}j_{9})}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.$

gde je:

$\Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}$

Simetrije

Vignerov 9-j simbol je invarijantan na refleksije oko dijagonale:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}.$

Ako se permutiraju bilo koja dva reda ili dve kolone :

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.$

tada se množi faznim faktorom $(-1)^{S}$, gde je $S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}.$

Specijalni slučaj

Za $j_{9}=0$ 9-j simbol proporcionalan je 6-j simbolu:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.$

Sume

$\sum _{j_{13}\,j_{24}}(-1)^{2j_{2}+j_{24}+j_{23}-j_{34}}(2j_{13}+1)(2j_{24}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{12}\\j_{3}&j_{4}&j_{34}\\j_{13}&j_{24}&j\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{13}\\j_{4}&j_{2}&j_{24}\\j_{14}&j_{23}&j\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{12}\\j_{4}&j_{3}&j_{34}\\j_{14}&j_{23}&j\end{Bmatrix}}.$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7. 
• Messiah, Albert (1981). Quantum Mechanics. II (12th izd.). New York: North Holland Publishing. ISBN 978-0-7204-0045-8. 

Spoljašnje veze

• 3j, 6j i 9j simboli