Клебш-Горданови коефицијенти

Из Википедије, слободне енциклопедије

Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком или користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана.

Дефиниција[уреди]

Нека Лијева група има две иредуцибилне репрезентације и . Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су и . Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте , које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:

Вектори , где образују базу репрезентације од . У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:

Тако дани коефицијенти називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе .

Оператори угаоних момената[уреди]

Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:

а је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор:

је пример Казимировога оператора.

Стања угаоних момената[уреди]

Из горњих дефиниција добија се да комутира са , and :

Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се и онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:

С друге стране оператори и мењају вредности:

Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:

Тензорски производ[уреди]

Нека представља -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

Други простор нека је -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

Тензорски производ тих простора је димензионалан простор са базом:

Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:

и

Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:

Угаони моменти задовољавају комутационе релације:

па следи:

Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:

Укупан број својствених стања једнак је димензији

Формална дефиниција коефицијената[уреди]

Стања укупнога угаонога момента могу се развити:

а коефицијенти тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти. Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је

Рекурзије[уреди]

Уз помоћ оператора добијамо:

Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:

Комбинујући те резултате добија се рекурзија:

Узмемо ли добијамо:

Ортогоналност[уреди]

Експлицитан приказ коефицијената[уреди]

Специјални случајеви[уреди]

За Клебш-Горданови коефицијенти су:

За и имамо

За и вреди:

За вреди:

За имамо:

Симетрије[уреди]

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама[уреди]

Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:

Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:

Литература[уреди]

  • 3ј, 6ј и 9ј симболи
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0
  • Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1957), ISBN 0-691-07912-9
  • Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.), New York: North Holland Publishing (1981), ISBN 0-7204-0045-7