Кумерова функција или конфлуентна хипергеометријска функција
представља решење Кумерове диференцијалне једначине:
![{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1b3bd0c88cbeb74392c5a73606799ae609bacf)
Функција је добила име по немачком математичару Ернсту Кумеру, који је 1837. први увео ту функцију.
Кумерова функција је решење Кумерове диференцијалне једначине и облика је:
![{\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3c4a1739063c6747f35826a88edc280b0bf406)
где је
![{\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1ab975047f1ad03df84e181d4437318ab590be)
Друго решење Кумерове диференцијалне једначине је Трикомијева функција
, која је представљена преко Кумерове функције:
![{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec5bc6a54f5a9e8066799e8bd3c987902462cc5)
Витакерове функције
и
представљају решења Витакерове диференцијалне једначине и могу се приказати преко Кумерових функција:
![{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ea4b67e11557de94bdefa7a14522c94921ef0a)
![{\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5188afd52bab7e7bf6b8c8dac537cb4315eb9b9)
У случају
Кумерова функција се своди на Беселову функцију:
и
![{\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{\frac {x}{2}}}{\sqrt {\pi }}}x^{{\frac {1}{2}}-a}K_{a-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e198e6a2bebc951ee60af4485727aa395b4c0ffa)
Кумерова функција може да се представи преко Лагерових полинома:
![{\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b135f334f039f05057673f28ba322768700f2846)
Трикомијева функција задовољава релацију:
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)=\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6d19e4e37c95a557bcc760b5aa101639a86bb0)
Кумерове функције повезане су Кумеровим трансформацијама:
![{\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82fb0265eb98a2fcb44c15152ded4e5ba4d20ed)
.
Кумерова функција повезана је релацијом:
![{\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060cde4ab1b7950c53803b2a2eb96c1033644fe9)
Трикомијева функција се асимптотски понаша као општа хипергеометријска функција:
![{\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d47e86981d999a5858e8a52055620b0ebf52a02)
За Re b > Re a > 0, Кумерова функција M може представити помоћу интеграла:
![{\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du\,\quad .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67376b7a5ebc0a05e60d1b6f77ed2319113482bf)
тако да M представља карактеристичну функцију бета расподеле. За :
![{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967d945abd886d634815e0ad76bc252fd4c0a890)
Могу да се представе и Барнсовим интегралима:
![{\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9c9698271e1c5abfb46a24079eb5da099097b7)