Ролова теорема

Геометријска интерпретација Ролове теореме: Ако функција задовољава услове теореме (непрекидна на интервалу [a, b], и диференцијабилна на интервалу (a, b)), тада постоји тачка c, у интервалу (a, b), таква да је тангента функције у тој тачки водоравна.

У анализи, грани математике, Ролова теорема тврди да ако је f реална функција, непрекидна на затвореном интервалу [a, b], диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b), и ако је f(a) = f(b), тада постоји тачка c из отвореног интервала (a, b), таква да је f′(c) = 0.

Доказ

Нека је f(a) = f(b). Како је функција f(x) непрекидна на одсечку [a, b], то она на том одсечку достиже бар једанпут своју највећу вредност М и своју најмању вредност m. Ако је M = m, тада је функција константна на посматраном интервалу, па је њен извод свуда једнак нули на посматраном интервалу. Ако је М различито од m, бар један од тих бројева је различит f(a). Нека је, без смањења општости, М различит од f(a). Дакле, функција има локални екстремум у некој тачки c, па је, на основу Фермаове теореме, f′(c) = 0. Овим је теорема доказана.