Чебишевљева неједнакост сума

Пафнути Лавович Чебишев

Чебишевљева неједнакост сума носи назив према руском математичару Пафнути Чебишеву. Ако имамо два опадајућа низа:

$a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$

и

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$

онда вреди Чебишевљева неједнакост

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

Исто тако ако је један низ растући, а други опадајући:

$a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$

и

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$

онда вреди

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

Доказ

Пођимо од суме

$S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).$

Ако су два низа опадајућа (односно нису растућа) онда a_j − a_k и b_j − b_k имају исти предзнак за било који j, k. Збога тога следи да је S ≥ 0. Из горње једначине и S ≥ 0 добијамо:

$0\leq n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}+n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}-\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}\,\sum _{j=1}^{n}b_{j},$

Сабирајући исте чланове добијамо:

$0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k}.$

Коначно следи:

${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=a}^{n}b_{k}.$

Генерализација неједнакости

Постоји генерализирана верзија Чебишевљеве неједнакости у случају континуиранога низа у виду функције. Ако су f и g реалне интеграбилне функције на интервалу [0, 1] и ако су обе растуће или обе падајуће онда следи:

$\int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.\,$

Литература

• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9