Чебишевљева неједнакост сума

Из Википедије, слободне енциклопедије
Пафнути Лавович Чебишев

Чебишевљева неједнакост сума носи назив према руском математичару Пафнути Чебишеву. Ако имамо два опадајућа низа:

и

онда вреди Чебишевљева неједнакост

Исто тако ако је један низ растући, а други опадајући:

и

онда вреди

Доказ[уреди]

Пођимо од суме

Ако су два низа опадајућа (односно нису растућа) онда aj − ak и bj − bk имају исти предзнак за било који jk. Збога тога следи да је S ≥ 0. Из горње једначине и S ≥ 0 добијамо:

Сабирајући исте чланове добијамо:

Коначно следи:

Генерализација неједнакости[уреди]

Постоји генерализирана верзија Чебишевљеве неједнакости у случају континуиранога низа у виду функције. Ако су f и g реалне интеграбилне функције на интервалу [0, 1] и ако су обе растуће или обе падајуће онда следи:

Литература[уреди]

  • Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9