Белови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Белови полиноми су значајни у комбинаторици, а облика су:

B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})
=\sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}
\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},

У горњем изразу сумира се по свим низовима j1, j2, j3, ..., jnk+1 позитивних бројева тако да је

j_1+j_2+\cdots = k и j_1+2j_2+3j_3+\cdots=n.

Белови полиноми названи су у част америчкога математичара Ерика Темпла Бела.

Потпуни Белови полиноми[уреди]

Потпуни Белови полиноми се називају суме Белових полинома облика:

B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})

За разлику од њих полиноми B_{n,k} називају се парцијалним Беловим полиномима. Потпуни Белови полиноми могу да се представе и преко детерминанте тј:

B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\  \\
-1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\  \\
0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\  \\
0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots  & \cdots & x_{n-3} \\  \\
0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\  \\
\vdots & \vdots & \vdots &  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1  \end{bmatrix}.

Значај у комбинаторици[уреди]

Белови парцијални полиноми B_{n,k} показују на колико се начина неки број n може приказати као сума k различитих бројева. Нпр:

B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3

показује да има

15 начина да се скуп од 6 прикаже као 4 + 1 + 1,
60 начина да се скуп од 6 прикаже као 3 + 2 + 1, и
15 начина да се скуп од 6 прикаже као 2 + 2 + 2.

Својства[уреди]

B_{n,k}(1!,2!,\dots,(n-k+1)!) = \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1} (n-k)!

У случају када су сви xi једнаки 1 Белови полиноми B_{n,k}(x_1,x_2,..) су онда једнаки Стирлинговим бројевима друге врсте:

B_{n,k}(1,1,\dots)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.

Сума таквих Белових полинома представља n-ти Белов број:

\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,1,\dots) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}

Белови полиноми се сусрећу и у следећој формули развоја у ред:

\exp\left(\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \right)
= \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n.

Полиномни низ[уреди]

За низ бројева a1, a2, a3, …претпоставимо:

p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.

Тај низ је биномнога типа, тј задовољава:

p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y) за n ≥ 0.

Литература[уреди]

  • Louis Comtet ,Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company (1974)
  • Andrews George E, The Theory of Partitions, Cambridge University Press (1998), ISBN 0-521-63766-X