Корисник:VM0414/песак

Koristi trigonometrije

Trigonometrija

Među laičkom javnošću ne-matematičara i ne-naučnika, trigonometrija je poznata uglavnom zbog njene primene na probleme merenja, ali se često koristi i na načine koji su daleko suptilniji, kao što je mesto u teoriji muzike; još neke druge upotrebe su više tehničke, kao što je u teoriji brojeva. Matematičke teme Furijeovih serija i Furijeovih transformacija se u velikoj meri oslanjaju na poznavanje trigonometrijskih funkcija i nalaze primenu u brojnim oblastima, uključujući i statistiku.

Izjava Thomasa Painea

U Poglavlju XI Doba razuma je američki revolucionarni i prosvetiteljski mislilac Tomas Paine napisao: Naučni principi koje čovek koristi da bi stekao predznanje pomračenja, ili bilo čega drugog što se odnosi na kretanje nebeskih tela, nalaze se uglavnom u onom delu nauke koji se naziva trigonometrija, ili svojstva trougla, koji, kada se primenjuje na proučavanje nebeskih tela, naziva se astronomija; kada se primenjuje za usmeravanje toka broda na okean, to se naziva navigacija; kada se primenjuje na konstrukciju figura nacrtanih od strane ravnala i kompasa, to se zove geometrija; kada se primenjuje na izgradnju planova zgrada, naziva se arhitektura; kada se primenjuje na merenje bilo kog dela površine zemlje, to se naziva geodetsko snimanje. U redu, to je duša nauke. To je večna istina: ona sadrži matematičku demonstraciju o kojoj čovek govori, a obim njene upotrebe je nepoznat.

Istorija

Velika Trigonometrijska Anketa

Glavni članak:Velika Trigonometrijska Anketa Od 1802. do 1871. godine, Velika Trigonometrijska anketa bila je projekat koji je imao visoku preciznost za ispitivanje indijskog potkontinenta. Polazeći od primorske osnove, matematičari i geografi triangulirali su velike udaljenosti širom zemlje. Jedno od ključnih dostignuća bilo je merenje visine himalajskih planina i utvrđivanje da je Mount Everest najviša tačka na Zemlji

Robotski manipulator Canadarm2 na Međunarodnoj svemirskoj stanici upravlja se kontrolisanjem uglova njegovih spojeva. Izračunavanje konačne pozicije astronauta na kraju ruke zahteva ponovnu upotrebu trigonometrijskih funkcija tih uglova.

Istorijska upotreba za množenjem

Za 25 godina koje su prethodile pronalasku logaritma 1614. godine, prostahajera je bila najčešće korišćena metoda aproksimacije proizvoda. Ona koristi identitete za trigonometrijske funkcije

Neke moderne upotrebe

Naučna polja koja koriste trigonometriju uključuju:

akustiku, arhitekturu, astronomiju, kartografiju, građevinarstvo, geofiziku, kristalografiju, elektrotehniku, elektroniku, geodeziju, mnoge fizičke nauke, mašinstvo, mašinsku obradu, medicinsku obradu slike, teoriju brojeva, oceanografiju, optika, farmakologiju, teoriju verovatnoće, seizmologiju , statistiku i vizuelnu percepciju

Da ova polja uključuju trigonometriju, ne znači da je poznavanje trigonometrije potrebno da bi se nešto saznalo o njima. To znači da se neke stvari u ovim poljima ne mogu razumeti bez trigonometrije. Na primer, profesor muzike možda ne zna ništa o matematici, ali bi verovatno znao da je Pitagora najstariji poznavalac matematičke teorije muzike.

U nekim od gore navedenih oblasti rada lako je zamisliti kako se može koristiti trigonometrija. Na primer, u navigaciji i geodetskoj izmeri, prilike za upotrebu trigonometrije su barem u nekim slučajevima dovoljno jednostavne da se mogu opisati u udžbeniku početne trigonometrije. U slučaju muzičke teorije, primena trigonometrije se odnosi na rad koji je započeo Pitagora, koji je primetio da su zvuci napravljeni čupanjem dva niza različitih dužina u saglasnosti ako su obe dužine mali celobrojni viškovi zajedničke dužine. Sličnost između oblika vibracionog niza i grafika sinusne funkcije nije puka slučajnost. U okeanografiji, sličnost između oblika nekih talasa i grafikona sinusne funkcije takođe nije slučajna. U nekim drugim oblastima, među kojima su klimatologija, biologija i ekonomija, postoje sezonske periodičnosti. Proučavanje ovih često uključuje periodičnu prirodu sinusne i kosinusne funkcije.

Fourierove serije

Mnoga polja koriste trigonometriju na naprednije načine nego što se može diskutovati u jednom članku. Oni često uključuju ono što se zove Furijeov red, nakon francuskog matematičara i fizičara iz 18. i 19. veka Džozefa Furijea. Fourierove serije imaju iznenađujuće raznovrsnu primenu u mnogim naučnim oblastima, posebno u svim fenomenima koji uključuju gore pomenute sezonske periodičnosti, kao i u talasnom kretanju, a time i u proučavanju radijacije, akustike, seizmologije, modulacije radio talasa u elektronici i elektroenergetici. Furijeova serija je suma ovog oblika:

$\Box +\Box \cos \theta +\Box \sin \theta +\Box \cos(2\theta )+\Box \sin(2\theta )+\Box \cos(3\theta )+\Box \sin(3\theta )+....$

gde je svaki od kvadrata različit broj, a jedan dodaje beskonačno mnogo pojmova. Fourier ih je koristio za proučavanje toplotnog protoka i difuzije (difuzija je proces u kojem, kada ispustite kocku šećera u galon vode, šećer se postepeno širi kroz vodu, ili se zagađivač širi vazduhom, ili se rastvorena supstanca širi bilo koje tečnosti). Fourier-ove serije su takođe primenljive na subjekte čija je veza sa talasnim kretanjem daleko od očiglednog. Jedan sveprisutni primer je digitalna kompresija kojom se slike, audio i video podaci komprimiraju u mnogo manju veličinu što ih čini prenosivim preko telefona, interneta i emitiranja. Drugi primer, gore pomenuti, je difuzija. Između ostalih su: geometrija brojeva, izoperimetrijski problemi, ponavljanje slučajnih šetnji, kvadratna reciprocitet, centralna granična teorema, Heisenbergova nejednakost.

Fourierove transformacije

Još apstraktniji koncept od Furijeovog niza je ideja Furijeove transformacije. Furijeove transformacije uključuju integrale, a ne sume, i koriste se u sličnom nizu naučnih polja. Mnogi prirodni zakoni se izražavaju povezivanjem stopa promene količina sa samim količinama. Na primjer: Stopa promjene populacije je ponekad zajednički proporcionalna sadašnjoj populaciji i iznosu kojim sadašnje stanovništvo ne zadovoljava kapacitet nosivosti. Ova vrsta odnosa naziva se diferencijalna jednačina. Ako se, s obzirom na ovu informaciju, pokuša izraziti populaciju kao funkcija vremena, pokušava se "rešiti" diferencijalna jednačina. Fourier-ove transformacije se mogu koristiti za pretvaranje nekih diferencijalnih jednačina u algebarske jednačine za koje su poznate metode njihovog rešavanja. Furijeove transformacije imaju mnogo koristi. U skoro svakom naučnom kontekstu u kojem se susreću reči spektar, harmonika ili rezonanca, Fourier-ove transformacije ili Fourierove serije su u blizini.

Statistika, uključujući i matematičku psihologiju

Količine inteligencije se ponekad drže da se raspoređuju prema krivulji u obliku zvona. Oko 40% površine ispod krivulje je u intervalu od 100 do 120; shodno tome, oko 40% populacije iznosi između 100 i 120 na IK testovima. Skoro 9% površine ispod krivulje je u intervalu od 120 do 140; shodno tome, oko 9% populacije procenjuje između 120 i 140 na IK testovima, itd. Slično tome, mnoge druge stvari se distribuiraju prema "krivulji u obliku zvona", uključujući greške u merenju u mnogim fizičkim merenjima. Zašto sveprisutnost "zvonaste krivulje"? Za to postoji teoretski razlog, a on uključuje Furijeove transformacije i stoga trigonometrijske funkcije. To je jedna od raznovrsnih primena Furijeovih transformacija u statistici.

Trigonometrijske funkcije se takođe primenjuju kada statističari proučavaju sezonske periodičnosti, koje su često predstavljene Furijeovim nizom.

Teorija brojeva

Postoji naznaka veze između trigonometrije i teorije brojeva. Slobodno govoreći, može se reći da se teorija brojeva bavi kvalitativnim svojstvima, a ne kvantitativnim svojstvima brojeva.

$\left({\frac {1}{42}}\right),\left({\frac {2}{42}}\right),\left({\frac {3}{42}}\right),...\left({\frac {39}{42}}\right),\left({\frac {40}{42}}\right),\left({\frac {41}{42}}\right)$

Odbacite one koje nisu u najnižem smislu; zadržati samo one koji su u najnižem smislu:

$\left({\frac {1}{42}}\right),\left({\frac {5}{42}}\right),\left({\frac {11}{42}}\right),....\left({\frac {31}{42}}\right),\left({\frac {37}{42}}\right),\left({\frac {41}{42}}\right)$

Zatim unesite trigonometriju:

$\cos(2\pi \cdot \left({\frac {1}{42}}\right))+\cos(2\pi \cdot \left({\frac {5}{42}}\right))+....+\cos(2\pi \cdot \left({\frac {37}{42}}\right)+\cos(2\pi \cdot \left({\frac {41}{42}}\right))$

Vrednost sume je -1, jer 42 ima neparan broj prostih faktora i nijedna od njih se ne ponavlja: ​​42 = 2 × 3 × 7. (Ako je postojao paran broj neponovljenih faktora, onda bi suma bila da li je bilo 1, ako je bilo bilo kakvih ponovljenih faktora (npr. 60 = 2 × 2 × 3 × 5) onda bi suma bila 0, suma je Mobiusova funkcija procenjena na 42.) Ovo ukazuje na mogućnost primena Fourierove analize na teoriju brojeva.

Rešavanje ne-trigonometrijskih jednačina

Različiti tipovi jednačina mogu se rešiti pomoću trigonometrije.

Na primer, linearna diferencijalna jednačina ili linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima ima rešenja izražena u smislu svojstvenih vrednosti njene karakteristične jednačine; ako su neka od svojstvenih vrednosti kompleksna, kompleksni termini se mogu zameniti trigonometrijskim funkcijama realnih izraza, pokazujući da dinamička promenljiva pokazuje oscilacije.

Slično tome, kubne jednačine sa tri realna rešenja imaju algebarsko rešenje koje ne pomaže u tome što sadrži korene kocki kompleksnih brojeva; opet postoji alternativno rješenje u smislu trigonometrijskih funkcija realnih pojmova.