Стјуартова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
(Слика 1) Уз помоћ Стјуартове теореме можемо изразити дужину дужи d преко дужина a, b, c, n и m.

У геометрији Стјуартова теорема указује на релацију дужина страница троугла и дужине дужи са једном крајњом тачком на страници тог троугла, а другом у темену наспрамном тој страници (слика 1). Именована је у част шкотског математичара Метјуа Стјуарта (енгл. Matthew Stewart c. 1717/1719[1] - 23. јануар 1785) који је доказао Стјуартову теорему 1749. Стјуартова теорема налаже да је:

·

Доказ преко тригонометрије[уреди]

Теорема може да се докаже на следећи начин:[2]

Нека је θ угао између m и d, и θ′ угао између n и d. Онда је θ′ суплементан углу θ па је cos θ′ = −cos θ. Косинусна теорема за углове θ и θ′ налаже

Помножимо прву једначину са n, другу са m, и додамо да бисмо скратили cos θ, па добијамо

И сређивањем се враћамо на првобитну форму:

·

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Waterston, Charles D; Macmillan Shearer, A (јул 2006). Former Fellows of the Royal Society of Edinburgh 1783-2002: Biographical Index (PDF) II. Единбург: Единбуршка академија наука и уметности. ISBN 9780902198845. Приступљено 29. септембар 2010. 
  2. Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.

Литература[уреди]