Формула Брамагупте

Из Википедије, слободне енциклопедије

у геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Основни облик[уреди]

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

Доказ формуле[уреди]

Тетивни четвороугао

Површина четвороугла може се израчунати као збир површина и

Како је тетивни четвороугао, , па је . Одатле је

Ако се примени косинусна теорема на и и помоћу ње се изрази дијагонала , добија се

Пошто су углови и суплементни, важи па ће бити

Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће

Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:

Ако се полуобим означи са и то се уврсти у претходни корак:

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

Уопштење формуле[уреди]

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори[1] према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

где су p и q дужине дијагонала четвороугла.

Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак

одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.

Сродне формуле[уреди]

Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.

Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме.

Извори[уреди]

Спољашње везе[уреди]