Хермитова интерполација

С Википедије, слободне енциклопедије

У нумеричкој анализи, Хермитова интерполација, названа по француском математичару Шарл Ермиту је метод интерполације. Тако створен Хермитов полином је сличан Њутновом интерполационом полиному у томе што су оба настала од рачунања са подељеним разликама.

Међутим, за разлику од Њутнове интерполације, Хермитова одређује непознату функцију и за дату вредност и за дату вредност у првих m извода. То значи да n(m + 1) вредности

морају бити познате, за разлику од првих n вредности потребне за Њутнову интерполацију. Добијени полином имати највећи могући степен n(m + 1) − 1, за разлику од Њутновог чији је највећи степен n − 1.

Коришћење[уреди | уреди извор]

Тривијалан случај[уреди | уреди извор]

Када користимо подељене разлике да израчунамо Хермитов полином функције f, први корак је да сваку тачку умножимо m пута. (Овде ћемо разматрати најједноставнији случај за сваку тачку.) Тада ако нам је дато тачака и вредности у тачкама и за функцију коју желимо да интерполирамо, креирамо

тако да су

Потом, правимо табелу подељених разлика за тачке . Мада за неке подељене разлике

што није дефинисано! У том случају, заменимо подељену разлику са .

Општи случај[уреди | уреди извор]

У општем случају, претпоставимо да је функција у тачки k пута диференцијабилна. Онда има k копија . Када правимо табелу подељених разлика, разлике од ће имати исте врености и оне се рачунају са

На пример,

итд.

Пример[уреди | уреди извор]

Нека је функција . Са вредностима ове функције и њена прва два извода у , добијамо

x ƒ(x) ƒ'(x) ƒ''(x)
−1 2 −8 56
0 1 0 0
1 2 8 56

Пошто имамо информације из прва два извода, можемо направити скуп . Наша табела подељених разлика је онда

и полином изгледа

узимајући коефицијенте са дијагонале табеле подељених разлика и множећи k-ти коефицијент са , као што бисмо радили и код Њутновог полинома.

Грешка[уреди | уреди извор]

Ако имамо полином H и функцију f, Код одређивања тачке функција грешке је

где је c непозната унутар интервала , K број тачака плус један и број извода познат за сваки плус један.