Центар масе

Из Википедије, слободне енциклопедије
Ed NL icon.png
Овај чланак је део пројекта семинарских радова на Математичком факултету у Београду.
Датум уноса: новембар — децембар 2015.
Википедијанци: Ова група студената ће уређивати у ГИП-у и молимо вас да не пребацујете овај чланак у друге именске просторе Википедије.
Позивамо вас да помогнете студентима при уређивању и допринесете да њихови уноси буду што квалитетнији.
Bird toy showing center of gravity.jpg

Центар масе је тачка на објекту (или систему) \mathbb{R}, \mathbb{R}^2 или \mathbb{R}^3 у којој се може сматрати да је сконцентрисана читава маса. Захваљујући овоме, читав објекат се може третирати као материјална тачка, чија је маса једнака укупној маси система, и његово кретање се може поредити са кретањем овакве материјалне тачке. У центру масе је нападна тачка гравитационе силе која делује на тело. У зависности од облика тела, центар масе може да се налази изван његових граница.

Тежиште представља тачку на објекту у којој би се налазио центар масе када би објекат био константне густине.

У свемиру привлачне силе делују између било које две масе. Ту силу зовемо гравитационом силом или гравитационим привлачењем. Гравитациона сила је јача, уколико су масе тела веће. Међутим, гравитациона сила је слаба сила, па њено постојање можемо приметити само када посматрамо неко тело врло велике масе, као што је планета Земља. Земљину гравитациону силу свакодневно примећујемо и називамо "силом Земљине теже". Уопште, Земља привлачи сва тела у својој околини, а то привлачење се препознаје као узрок падања тела.

Ако се тело налази у бестежинском стању, значи да на њега не делује сила теже (гравитациона сила). Међутим, тела увек имају масу (маса је непроменљиво својство сваког тела), па и кад су у бестежинском стању. Маса је распоређена у телу на одређен начин, но постоји тачка на телу у којој се чини као да се у њој налази целокупна маса тела. Ту тачку зовемо центар масе тела.

Aрхимедов закон полуге[уреди]

Грчки физичар и математичар Архимед је први увео појам центра масе и детаљним математичким испитивањима је открио својства полуге. Закон полуге дефинише добијање вишеструке силе на једном њеном крају, променом растојања између ослонца и крајева полуге. Закон је сачињен од седам постулата који су наведени у Архимедовом делу "О равнотежи равних тела или о тежиштима равних тела". Архимед је под тежиштем разумео тачку која има особину да остане у равнотежи кад се за њу обеси тело без обзира на положај који му је дат.

,,Дајте ми ослонац и довољно дугачку полугу и променићу свет."[1]

Одређивање центра масе[уреди]

Центар маса тачака (једнодимензиони систем)[уреди]

Најједноставнији пример јесте пример тзв. клацкалице: Имамо дате две тачке S и P на крајевима клацкалице са својим масама m_1 и m_2\ (m_1, m_2\neq 0) што ћемо означити са S(m_1),\ P(m_2) и нека је T тачка ослонца чији се положај тражи да би клацкалица била у равнотежи. За T важи:

|ST| : |TP| = m_2 : m_1  \Longleftrightarrow m_1 \overrightarrow{TS} + m_2\overrightarrow{TP} = \overrightarrow{0}

Центар масе тачака
Центар масе тачака

Из наведене еквиваленције се закључује да се у тежишту маса T силе поништавају.

Увођењем произвољне тачке O, може се извести дефиниција тежишта маса тачака S(m_1) и P(m_2):

m_1(\overrightarrow{TO}+\overrightarrow{TS}) + m_2(\overrightarrow{TO}+\overrightarrow{OP}) = \overrightarrow{0}

Из ове формуле се лако израчунава вектор положаја тачке T:

\overrightarrow{OT} = \frac{1}{m_1+m_2} (m_1\overrightarrow{OS}+m_2\overrightarrow{OP})

Центар масе n тачака се израчунава формулом:

\overrightarrow{OT} = \frac{1}{\sum_{k=1}^n m_k} \sum_{k=1}^n m_k \overrightarrow{OA_k}

Тежиште троугла[уреди]
  • Тежишна дуж је дуж која спаја теме са центром наспрамне странице.
    • S_2 - центар масе тачака P i Q
    • SS_1 - тежишна дуж из S
  • Тежиште је тачка која се налази у пресеку тежишних дужи дели тежишну дуж у односу 2:1.
  • Тежиште троугла је центар маса троугла са једнаким оптерећењима/масама у теменима троугла.
Теорема: Тежишне дужи се секу у центру маса.
Пример клацкалице у равнотежи

Аналогно претходном случају може се израчунати тежиште масе и за три тачке S(m_1), P(m_2) и Q(m_3):

  \overrightarrow{0} = m_1 \overrightarrow{TS} + m_2\overrightarrow{TP} + m_3\overrightarrow{TQ}

Ово се физички може гледати као троугао од чврстог материјала који је у равнотежи уколико је ослонац у тачки T, а маса сконцентрисана у теменима.

Увођењем тачке O помоћу претходне формуле се може изести формула за израчунавање вектора положаја:

\overrightarrow{OT} = \frac{1}{m_1+m_2+m_3} (m_1\overrightarrow{OS}+m_2\overrightarrow{OP}+m_3\overrightarrow{OQ})

Центар масе хомогених тела[уреди]

Код хомогених тела центар масе се налази у пресеку дијагонала.

Уколико је хомогено тело у облику латиничног слова "L" центар масе се проналази у неколико корака:

  1. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 2) . Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж AB спаја тежишта ова два четвороугла.
  2. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 3). Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж CD спаја тежишта ова два четвороугла
  3. Пресечна тачка (O) дужи AB
и CD је центар масе овог тела
Центар масе тела у облику слова "L"

Центар масе дводимензионог система[уреди]

У зависности од објекта за који се израчунава центар масе постоје два случаја. У дискретном случају када је дато n материјалних тела (n је коначан број), сваки са масом m_i који су распоређени у некој равни тако да се свако материјално тело налази у тачки (x_i, y_i)

M = \sum m_i je укупна маса система. Свако тело мора имати момент силе око сваке осе. Одакле следи:

Момент око x
-осе:

\mu _x = \sum_{i=1}^n m_iy_i

Момент око y-осе:

\mu _y = \sum_{i=1}^n m_ix_i

Тачка T
која је центар масе система има координате T = \frac{1}{M}(\sum_{i=1}^n m_ix_i, \sum_{i=1}^n m_iy_i).

У случају када је дат непрекидан објекат ове се формуле могу уопштити тако што се уместо суме узме ингеграл.

Центар масе тродимензионог система[уреди]

Израчунавање центра масе тродимензионог система се не разликује много од израчунавања у дводимензионом систему због лакоће свођења троструког на двоструки интеграл. Дефиниција момента силе тела је аналогна: нека је дата тачка M(x,y,z) и нека је са \delta(x,y,z) означена густина у тачки M.

Moмент око yz-равни:

\mu_{yz} = \iint\limits_M\int x\delta(x,y,z)dV

Kooрдинате центра масе задовољавају релације \mu_{yz}= M_\tilde{x}, \mu_{xz}= M_\tilde{y}, \mu_{xy}= M_\tilde{z} 
 

из којих следи:

T = \left ( \frac{1}{M} \right )(\iint\limits_M\int x\delta dV, \iint\limits_M\int y\delta dV, \iint\limits_M\int z\delta dV)

Физика[уреди]

Механички систем[уреди]

Механички систем представља скуп материјалних тачака или тела где су положаји и кретања свих материјалних тачака или тела међусобно зависни. При томе се претпоставља постојање сила интеракције између појединих честица (тела). Круто тело се може сматрати механичким системом честица од којих је и састављено. Класичан пример механичког система је Сунчев систем. У њему су сва тела повезана међусобним силама интеракције.

Маса система и центар масе система[уреди]

Кретање система ће сигурно зависити, осим од сила које делују на њега, од укупне масе система и расподеле масе у систему. Маса система је једнака аритметичкој средини маса свих честица (тела) које га чине m =\sum_{k} m_k. При разматрању кретања крутих тела и других механичких система од важности је тачка која се назива центром масе. Ако се систем састоји од коначног броја тачака, чије масе су m_1,m_2,...,m_k,...,m_n (n је укупан број тих тачака), центром масе се назива тачка C чији је вектор положаја \vec r_c одређен изразом

\vec r_c=  \frac {\sum_{k=1}^n m_k \vec r_k}{\sum_{k=1}^n m_k}=  \frac {\sum_{k=1}^n m_k \vec r_k}{m}

где су \vec r_1, \vec r_2,..., \vec r_k,..., \vec r_n вектори положаја у односу на одабрану тачку O.

У Декартовом координатном систему, координате положаја центра масе су одређене са:

x_C =\  \frac {\sum_{k=1}^n m_k x_k}{\sum_{k=1}^n m_k}

y_C =\  \frac {\sum_{k=1}^n m_k y_k}{\sum_{k=1}^n m_k}

z_C =\  \frac {\sum_{k=1}^n m_k z_k}{\sum_{k=1}^n m_k}

Треба приметити да центар масе није материјална тачка, већ се ради о геометријској тачки.

Центар масе не мора бити ни на једној од материјалних тачака (или телу, ако је оно у питању). Центар масе карактерише расподелу масе у механичком систему (или телу). У случају крутих тела, која имају континуалну расподелу масе, мора се размишљати на "диференцијални" начин. У мислима тело ће се поделити на елемантарне масе dm, па израз за центар масе тела поприма облик

\vec r_c= \frac {\int\limits_m \, \vec r\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}

У Декартовим координатама, координате положаја центра масе тела су дате са

x_C =\  \frac {\int\limits_m \, x\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}

y_C =\ \frac {\int\limits_m \, y\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}

z_C =\  \frac {\int\limits_m \, z\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}

Aстрономија[уреди]

Барицентар Земље и Месеца

Центар масе има важан утицај у астрономији и астрофизици, где се обично назива и барицентар. Барицентар је тачка између два објекта у којој они балансирају између себе; то је центар масе где два или више небеских тела круже једни око других.

Maca Meсеца, иако 81,3 пута мања од масе Земље, није занемарљива. Она делује на Земљу и заправо Месец не кружи око Земље, већ Месец и Земља осцилирају око једне заједничке тачке - барицентра. И заправо тачка у којој се налази барицентар обилази Сунце по елиптичној путањи док центри Месеца и Земље осцилирају око те тачке.

Литература[уреди]

  1. Т. Шукиловић, С. Вукмировић, Геометрија ѕа информатичаре, Математички факултет, Београд, 2015. ISBN: 978-86-7589-106-2
  2. Francis Weston Sears, Mehanika, talasno kretanje i toplota, Naučna knjiga, Beograd, 1962.
  3. Г. Калајџић, М. Ђорић, Геометрија, Математички факултет, Београд, 2013
  4. Opšta enciklopedija Larousse, 2. tom, Vuk Karadžić, Beograd, 1972.
  5. Andre K.T. Assis ,Archimedes, the Center of Gravity, and the First Law of Mechanics, Montreal 2010

Референце[уреди]

Спољашње везе[уреди]