Белови полиноми су значајни у комбинаторици, а облика су:
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbd1af656b8288b6d61e72f68be99c18cc96282)
![{\displaystyle =\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6fdd27475e1d57b07e87e70be3528baeb63b75)
У горњем изразу сумира се по свим низовима j1, j2, j3, ..., jn−k+1 позитивних бројева тако да је
и ![{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2358af1223adf7ab2fc75c08c6e0279152dcc3)
Белови полиноми названи су у част америчкога математичара Ерика Темпла Бела.
Потпуни Белови полиноми се називају суме Белових полинома облика:
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76991d0ee74bbcc3c1dd06b481c3136c873d28a4)
За разлику од њих полиноми
називају се парцијалним Беловим полиномима. Потпуни Белови полиноми могу да се представе и преко детерминанте тј:
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\*1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b016bc72a10678c3c73921184d588f4fd3f91e)
Белови парцијални полиноми
показују на колико се начина неки број n може приказати као сума k различитих бројева. Нпр:
![{\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201279c5db782fa9fe3ca5e10ef39fff66f20c61)
показује да има
- 15 начина да се скуп од 6 прикаже као 4 + 1 + 1,
- 60 начина да се скуп од 6 прикаже као 3 + 2 + 1, и
- 15 начина да се скуп од 6 прикаже као 2 + 2 + 2.
![{\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909c02d638e6bfdbf1876a385daebddd5b35fb33)
У случају када су сви xi једнаки 1 Белови полиноми
су онда једнаки Стирлинговим бројевима друге врсте:
![{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83359e82759cdf575f9964a861adf168da7d509d)
Сума таквих Белових полинома представља n-ти Белов број:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2c446a6973dee10f996afb47d353d45944751c)
Белови полиноми се сусрећу и у следећој формули развоја у ред:
![{\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e830d3a042d29de412ab3bf78aa73a0c77ebe4)
За низ бројева a1, a2, a3, …претпоставимо:
![{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd450b6fc2f6d699fa6f79c9ae1de25bc1bbe522)
Тај низ је биномнога типа, тј задовољава:
за n ≥ 0.