Извор странице Паралелност (геометрија)

[[File:Parallel (PSF).png|thumb|Линијско цртање паралелних линија и кривих.|alt==]]

'''Паралелност''' у [[геометрија|геометрији]] представља однос између два геометријска објекта. Примери дефинисања паралелности у еуклидској геометрији су:
* Две [[права (линија)|праве]] су паралелне уколико се налазе у једној [[раван|равни]] и не секу се.
* Права је паралелна са равни, уколико са њом нема пресечних тачака. (еуклидски простор)
* Две различите равни су паралелне уколико се не секу. (еуклидски простор)

У тродимензионом простору треба разликовати појам паралелности и мимоилажења. Уколико две праве не леже у истој равни и не секу се, онда су исте '''мимоилазне''' а не паралелне. По сличном концепту постоји и појам '''мимоилазних равни''' у еуклидским просторима већих димензија. У [[еуклидов простор|еуклидском простору]] -{'''R'''}-<sup>-{''n''}-</sup>, за два [[афини простор|афина потпростора]] -{''a''}-<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;-{''V''}-<sub>1</sub> и -{''a''}-<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;-{''V''}-<sub>2</sub> каже се да су паралелни ако је један од одговарајућих [[векторски простор|векторских потпростора]] -{''V''}-<sub>1</sub> и -{''V''}-<sub>2</sub> потпростор другог. У геометријском простору тачака у којем је уведен појам [[бесконачност|бесконачно]] далеких тачака, два геометријска објекта су паралелна уколико се секу у бесконачно далекој тачки.

Паралелне праве су предмет [[Euclid|Еуклидовог]] [[parallel postulate|паралелног постулата]].<ref>Although this postulate only refers to when lines meet, it is needed to prove the uniqueness of parallel lines in the sense of [[Playfair's axiom]].</ref> Паралелизам је првенствено својство [[affine geometry|афине геометрије]], а [[Euclidean geometry|еуклидска геометрија]] је посебан пример ове врсте геометрије. У неким другим геометријама, као што је [[hyperbolic geometry|хиперболична геометрија]], линије могу имати аналогна својства која се називају паралелизам.

== Симбол ==

Паралелни симбол је <math>\parallel</math>.<ref name="Kersey_1673"/><ref name="Cajori_1928"/> На пример, <math>AB \parallel CD</math> означава да је права ''AB''  паралелна са линијом&nbsp;''CD''.

У [[Unicode|јуникодном]] скупу знакова, „паралелни“ и „непаралелни“ знаци имају кодне тачке U+2225 (∥ и U+2226 (∦). Поред тога, U+22D5 (⋕) представља релацију „једнако и паралелно“.<ref>{{cite web| title = Mathematical Operators – Unicode Consortium| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf| access-date = 2013-04-21}}</ref>

Исти симбол се користи за бинарну функцију у електротехници ([[parallel operator|паралелни оператор]]). Разликује се од двоструких вертикалних заграда које означавају [[Norm (mathematics)|норму]], као и од логичког или оператора (<code>||</code>) у неколико програмских језика.

== Еуклидски паралелизам ==

=== Две праве у равни ===

==== Услови за паралелизам ====
[[Датотека:Parallel transversal.svg|thumb|right|300px|Као што показују квачице, праве ''a'' и ''b'' су паралелне. Ово се може доказати јер трансверзала ''t'' производи подударне одговарајуће углове <math>\theta</math>, приказане овде и десно од трансверзале, један изнад и поред праве ''a'', а други изнад и суседно са линији б.]]

За дате паралелне праве ''l'' и ''m'' у [[Euclidean space|Еуклидском простору]], следећа својства су еквивалентна:
* Свака тачка на правој ''m'' налази се на потпуно истој (минималној) удаљености од праве ''l'' (''[[equidistant|једнако удаљене]]'' праве).
* Права ''m'' је у истој равни као и права ''l'', али не сече ''l'' (праве пружају [[infinity|бесконачно]] у оба смера).
* Када се обе праве ''m'' и ''l'' пресеку трећом правом линијом ([[Transversal (geometry)|трансверзалом]]) у истој равни, [[corresponding angles|одговарајући углови]] пресека са трансверзалом су [[Congruence (geometry)|подударни]].

Пошто су ово еквивалентна својства, било које од њих би се могло узети као дефиниција паралелних правих у еуклидском простору, али прво и треће својство укључују мерење, те су „компликованија“ од другог. Дакле, друго својство је оно које се обично бира као одређујуће својство паралелних правих у еуклидској геометрији.<ref>{{harvnb|Wylie Jr.|1964|loc=pp. 92—94}}</ref> Остала својства су онда последице [[Euclid's Fifth Axiom|Еуклидовог паралелног постулата]]. Још једно својство које такође укључује мерење је да линије паралелне једна са другом имају исти [[градијент]] (нагиб).

==== Историја ====

Дефиниција паралелних правих као пара правих у равни које се не састају појављује се као дефиниција 23 у првој књизи [[Euclid's Elements|Еуклидових елемената]].<ref name=Euclid>{{harvnb|Heath|1956|loc=pp. 190–194}}</ref> Други Грци су расправљали о алтернативним дефиницијама, често као део покушаја да се докаже [[parallel postulate|паралелни постулат]]. [[Proclus|Прокло]] приписује дефиницију паралелних правих као једнако удаљених линија [[Posidonius|Посидонију]] и цитира [[Geminus|Гемина]] на сличан начин. [[Simplicius of Cilicia|Симплиције]] такође помиње Посидонијеву дефиницију као и њену модификацију од стране филозофа Аганиса.<ref name=Euclid />

Крајем деветнаестог века, у Енглеској, Еуклидови елементи су и даље били стандардни уџбеник у средњим школама. Традиционални третман геометрије био је под притиском да се промени новим развојем у [[projective geometry|пројективној геометрији]] и [[non-Euclidean geometry|нееуклидској геометрији]], те је у то време написано неколико нових уџбеника за наставу геометрије. Главна разлика између ових реформских текстова, како између њих самих, тако и између њих и Еуклида, је третман паралелних линија.<ref>{{harvnb|Richards|1988|loc=Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild. pp. 161–200}}</ref> Ови реформски текстови нису били без својих критичара и један од њих, Чарлс Доџсон (познатији као [[Lewis Carroll|Луис Карол]]), написао је драму ''Еуклид и његови модерни ривали'', у којој се ови текстови осуђују.<ref>{{citation|first=Lewis|last=Carroll|title=Euclid and His Modern Rivals|date=2009|orig-year=1879|publisher=Barnes & Noble|isbn=978-1-4351-2348-9}}</ref>

Један од првих реформских уџбеника био је ''Елементарна геометрија'' Џејмса Мориса Вилсона из 1868.<ref>{{harvnb|Wilson|1868}}</ref> Вилсон је своју дефиницију паралелних правих засновао на [[primitive notion|примитивном појму]] ''правца''. Према [[Wilhelm Killing|Вилхелму Килингу]],<ref>''Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I'', p. 5</ref> идеја се може пратити још од [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Лајбница]].<ref>{{harvnb|Heath|1956|loc= p. 194}}</ref> Вилсон, без дефинисања правца пошто је примитиван, користи термин у другим дефиницијама, као што је његова шеста дефиниција, „Две праве линије које се сусрећу имају различите правце, а разлика њихових праваца је ''угао'' између њих.“ {{harvtxt|Wilson|1868|loc=p. 2}} У дефиницији 15 он уводи паралелне праве на овај начин; „Праве које имају ''исти правац'', али нису делови исте праве, називају се ''паралелне''.{{harvtxt|Wilson|1868|loc=p. 12}} [[Augustus De Morgan|Августус Де Морган]] је прегледао овај текст и прогласио га неуспешним, првенствено на основу ове дефиниције и начина на који ју је Вилсон користио за доказе о паралелним правима. Доџсон такође посвећује велики део своје драме (Други чин, сцена VI § 1) осуди Вилсоновог третмана паралела. Вилсон је уредио овај концепт од трећег и виших издања свог текста.<ref>{{harvnb|Richards|1988|loc=pp. 180–184}}</ref>

Остале особине, које су предложили други реформатори, коришћене као замена за дефиницију паралелних правих, нису прошле много боље. Главна потешкоћа, како је истакао Доџсон, била је у томе што је за њихово коришћење на овај начин било потребно додати додатне аксиоме систему. Позидонијева дефиниција еквидистантне линије, коју је изложио Френсис Катберцон у свом тексту ''Еуклидска геометрија'' из 1874. године, пати од проблема да тачке које се налазе на фиксној датој удаљености на једној страни праве морају бити приказане да формирају праву линију. Ово се не може доказати и мора се претпоставити да је тачно.<ref>{{harvnb|Heath|1956|loc=p. 194}}</ref> Одговарајући углови формирани трансверзалним својством, које је В. Д. Кули користио у свом тексту из 1860. године, ''Елементи геометрије, поједностављено и објашњено'', захтева доказ чињенице да ако се једна трансверзала сусреће са паром правих у конгруентним одговарајућим угловима, онда све трансверзале морају да раде тако. Опет, потребан је нови аксиом да би се оправдала ова изјава.

==== Конструкција ====

Три горња својства доводе до три различите методе конструкције<ref>Only the third is a straightedge and compass construction, the first two are infinitary processes (they require an "infinite number of steps".)</ref> паралелних правих.

<gallery widths="200px">
Датотека:Par-prob.png|Проблем: Повуците праву кроз ''a'' паралелно са ''l''.
Датотека:Par-equi.png|Својство 1: Права ''m'' има свуда исто растојање до праве ''l''.
Датотека:Par-para.png|Својство 2: Узмите случајну праву кроз ''a'' која сече ''l'' у ''x''. Померите тачку ''x'' у бесконачност.
Датотека:Par-perp.png|Својство 3: ''l'' и ''m'' деле попречну праву кроз ''a'' која их сече под углом од 90°.
</gallery>

==== Растојање између две паралелне праве ====
{{Main|Растојање између две линије}}

Пошто су паралелне праве у еуклидској равни [[equidistant|једнако удаљене]], постоји јединствено растојање између две паралелне праве. Имајући у виду једначине две невертикалне, нехоризонталне паралелне праве,
:<math>y = mx+b_1\,</math>
:<math>y = mx+b_2\,,</math>

растојање између две праве може се наћи тако што се лоцирају две тачке (по једна на свакој правој) које леже на заједничкој нормали на паралелне праве и израчуна се растојање између њих. Пошто праве имају нагиб ''m'', заједничка нормала би имала нагиб −1/''m'' и може се узети права са једначином ''y'' = −''x''/''m'' као заједничка управа. Могу се решити линеарни системи

:<math>\begin{cases}
y = mx+b_1 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>
и
:<math>\begin{cases}
y = mx+b_2 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>

да би се добиле координате тачака. Решења линеарних система су тачке
:<math>\left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)\,</math>
и
:<math>\left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right).</math>
Ове формуле и даље дају тачне координате тачке чак и ако су паралелне праве хоризонталне (тј. ''m'' = 0). Удаљеност између тачака је
:<math>d = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,,</math>
што се редукује на
:<math>d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,.</math>

Када су линије дате општим обликом једначине праве (укључене су хоризонталне и вертикалне линије):
:<math>ax+by+c_1=0\,</math>
:<math>ax+by+c_2=0,\,</math>
њихова удаљеност се може изразити као
:<math>d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.</math>

== Референце ==
{{Reflist|refs=
<ref name="Kersey_1673">{{Cite book |author-first=John |author-last=Kersey (the elder) |author-link=John Kersey the elder |title=Algebra |location=London |date= |volume=Book IV |page=177}}</ref>
<ref name="Cajori_1928">{{cite book |author-first=Florian |author-last=Cajori |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematical Notations - Notations in Elementary Mathematics |chapter=§ 184, § 359, § 368 |volume=1 |orig-year=September 1928 |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, US |date=1993 |edition=two volumes in one unaltered reprint |pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/193 193, 402–403, 411–412] |isbn=0-486-67766-4 |lccn=93-29211 |chapter-url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/193 |access-date=2019-07-22 |quote=§359. […] ∥ for parallel occurs in [[William Oughtred|Oughtred]]'s ''Opuscula mathematica hactenus inedita'' (1677) [p. 197], a posthumous work (§ 184) […] §368. Signs for parallel lines. […] when [[Robert Recorde|Recorde]]'s sign of equality won its way upon the Continent, vertical lines came to be used for parallelism. We find ∥ for "parallel" in [[John Kersey the elder|Kersey]],[14] [[John Caswell|Caswell]], [[William Jones (mathematician)|Jones]],[15] Wilson,[16] [[William Emerson (mathematician)|Emerson]],[17] Kambly,[18] and the writers of the last fifty years who have been already quoted in connection with other pictographs. Before about 1875 it does not occur as often […] Hall and Stevens[1] use "par[1] or ∥" for parallel […] [14] [[John Kersey the elder|John Kersey]], ''Algebra'' (London, 1673), Book IV, p. 177. [15] [[William Jones (mathematician)|W. Jones]], ''Synopsis palmarioum matheseos'' (London, 1706). [16] John Wilson, ''Trigonometry'' (Edinburgh, 1714), characters explained. [17] [[William Emerson (mathematician)|W. Emerson]], ''Elements of Geometry'' (London, 1763), p. 4. [18] {{ill|Ludwig Kambly{{!}}L.<!-- Ludwig --> Kambly|de|Ludwig Kambly}}, ''Die Elementar-Mathematik'', Part 2: ''Planimetrie'', 43. edition (Breslau, 1876), p. 8. […] [1] H. S.<!-- Henry Sinclair --> Hall and F. H.<!-- Frederick Haller --> Stevens, ''Euclid's Elements'', Parts I and II (London, 1889), p. 10. […] }} [https://monoskop.org/images/2/21/Cajori_Florian_A_History_of_Mathematical_Notations_2_Vols.pdf]</ref>
}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|author-first=John |author-last=Kersey (the elder) |author-link=John Kersey the elder |title=Algebra |location=London |date= |volume=Book IV |page=177}}
* {{citation
 | last = Heath
 | first = Thomas L.
 | author-link = T. L. Heath
 | title = The Thirteen Books of Euclid's Elements
 | edition = 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]
 | date = 1956
 | publisher = Dover Publications
 | location = New York
 }}
: (3 vols.): {{ISBN|0-486-60088-2}} (vol. 1), {{ISBN|0-486-60089-0}} (vol. 2), {{ISBN|0-486-60090-4}} (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
* {{citation|last=Richards|first=Joan L.|author-link= Joan L. Richards |title=Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England|date=1988|publisher=Academic Press|location=Boston|isbn=0-12-587445-6}}
* {{citation|first=James Maurice|last=Wilson|title=Elementary Geometry|edition=1st|date=1868|place=London|publisher=Macmillan and Co.}}
* {{citation|first=C. R.|last=Wylie Jr.|title=Foundations of Geometry|date=1964|publisher=McGraw–Hill}}
* {{citation
 | last1 = Papadopoulos
 | first1 = Athanase
 | last2=Théret
 |first2= Guillaume
 | title = La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert: Présentation, traduction et commentaires
 | date = 2014
 | publisher = Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard
 | place=Paris
 |isbn=978-2-85367-266-5}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=qoxBeti5ySoC&q=intersection|year=2002|isbn=9783540424543|pages=408 |title=Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing |last1=Patrikalakis |first1=Nicholas M. |last2=Maekawa |first2=Takashi |publisher=Springer}}
* A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) {{cite book|author= |title=Notes on hyperbolic geometry |location= |publisher= |year= |isbn=978-3-03719-105-7|editor=Strasbourg Master class on Geometry, pp }}.&nbsp;1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, . {{cite journal|author= |title= |journal= |date= |volume=|issue=|pages=|doi=10.4171–105}}.
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, H. S. M.]], (1942) {{cite book|author= |title=Non-Euclidean geometry|year=1961|url=https://archive.org/details/noneuclideangeom0000coxe_l6f0|location= |publisher=University of Toronto Press |isbn=}}, Toronto
* {{cite book
 | last=Fenchel
 | first=Werner |author-link=Werner Fenchel
 | title=Elementary geometry in hyperbolic space
 | series=De Gruyter Studies in mathematics
 | volume=11
 | publisher=Walter de Gruyter & Co.
 | location=Berlin-New York
 | year=1989
}}
* {{cite book
 | last= Fenchel
 | first=Werner |author-link=Werner Fenchel
 |author2=Jakob Nielsen (mathematician)|authorlink2=Nielsen, Jakob|editor=Asmus L. Schmidt
 | title=Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane
 | series=De Gruyter Studies in mathematics
 | volume=29
 | publisher=Walter de Gruyter & Co.
 | location=Berlin
 | year=2003
}}
* Lobachevsky, Nikolai I., (2010) {{cite book|author= |title=Pangeometry |location= |publisher= |year= |isbn=978-3-03719-087-6}}, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, /hbk
* [[John Milnor|Milnor, John W.]], (1982) ''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]'', {{cite journal|author= |title= |journal=Bulletin of the American Mathematical Society|date=N.S.|volume=6|issue=1|pages=9–24}}.
* Reynolds, William F., (1993) ''Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid'', [[American Mathematical Monthly]] {{page2|date=|volume=100|issue=|pages=442–455}}.
* {{Cite book | last1=Stillwell | first1=John | author1-link=John Stillwell | title=Sources of hyperbolic geometry | url=https://books.google.com/books?id=ZQjBXxxQsucC | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-0529-9 | year=1996 | volume=10 | mr=1402697}}
* {{cite journal|author=Samuels, David |title=Knit Theory |journal= Discover Magazine |date=March 2006|volume=27|issue=3|pages=}}.
* {{cite book|author=James W. Anderson|title=Hyperbolic Geometry|publisher=Springer|year=2005|isbn=1-85233-934-9|pages=}}
* James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) ''[http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry] {{Wayback|url=http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf |date=20100706231951 }}'', MSRI Publications, volume 31.
* {{citation|first=Bruce E.|last=Meserve|title=Fundamental Concepts of Geometry|date=1983|orig-year=1959|publisher=Dover|isbn=0-486-63415-9}}
* {{citation|first=Athanase|last=Papadopoulos|title=Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations. In: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos)|date=2015|publisher=CNRS Editions, Paris|isbn=978-2-271-08331-9}}
* {{cite book|last=Van Brummelen|first=Glen|author-link=Glen van Brummelen|title=Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC|access-date=31 December 2014|year=2013|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=9780691148922}}
* [[Roshdi Rashed]] and Athanase Papadopoulos (2017) ''Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries'', [[De Gruyter]] Series: Scientia Graeco-Arabica 21. {{page|year=|isbn=978-3-11-057142-4|pages=}}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category-lat|Parallel (geometry)}}
* [http://www.mathopenref.com/constparallel.html Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge]

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]