Paralelnost (geometrija)

Linijsko crtanje paralelnih linija i krivih.

Paralelnost u geometriji predstavlja odnos između dva geometrijska objekta. Primeri definisanja paralelnosti u euklidskoj geometriji su:

• Dve prave su paralelne ukoliko se nalaze u jednoj ravni i ne seku se.
• Prava je paralelna sa ravni, ukoliko sa njom nema presečnih tačaka. (euklidski prostor)
• Dve različite ravni su paralelne ukoliko se ne seku. (euklidski prostor)

U trodimenzionom prostoru treba razlikovati pojam paralelnosti i mimoilaženja. Ukoliko dve prave ne leže u istoj ravni i ne seku se, onda su iste mimoilazne a ne paralelne. Po sličnom konceptu postoji i pojam mimoilaznih ravni u euklidskim prostorima većih dimenzija. U euklidskom prostoru Rⁿ, za dva afina potprostora a₁ + V₁ i a₂ + V₂ kaže se da su paralelni ako je jedan od odgovarajućih vektorskih potprostora V₁ i V₂ potprostor drugog. U geometrijskom prostoru tačaka u kojem je uveden pojam beskonačno dalekih tačaka, dva geometrijska objekta su paralelna ukoliko se seku u beskonačno dalekoj tački.

Paralelne prave su predmet Euklidovog paralelnog postulata. Paralelizam je prvenstveno svojstvo afine geometrije, a euklidska geometrija je poseban primer ove vrste geometrije. U nekim drugim geometrijama, kao što je hiperbolična geometrija, linije mogu imati analogna svojstva koja se nazivaju paralelizam.

Simbol

Paralelni simbol je $\parallel$. Na primer, $AB\parallel CD$ označava da je prava AB paralelna sa linijom CD.

U junikodnom skupu znakova, „paralelni“ i „neparalelni“ znaci imaju kodne tačke U+2225 (∥ i U+2226 (∦), respektivno. Pored toga, U+22D5 (⋕) predstavlja relaciju „jednako i paralelno“.

Isti simbol se koristi za binarnu funkciju u elektrotehnici (paralelni operator). Razlikuje se od dvostrukih vertikalnih zagrada koje označavaju normu, kao i od logičkog ili operatora (||) u nekoliko programskih jezika.

Euklidski paralelizam

Dve prave u ravni

Uslovi za paralelizam

Kao što pokazuju kvačice, prave a i b su paralelne. Ovo se može dokazati jer transverzala t proizvodi podudarne odgovarajuće uglove $\theta$, prikazane ovde i desno od transverzale, jedan iznad i pored prave a, a drugi iznad i susedno sa liniji b.

Za date paralelne prave l i m u Euklidskom prostoru, sledeća svojstva su ekvivalentna:

• Svaka tačka na pravoj m nalazi se na potpuno istoj (minimalnoj) udaljenosti od prave l (jednako udaljene prave).
• Prava m je u istoj ravni kao i prava l, ali ne seče l (prave pružaju beskonačno u oba smera).
• Kada se obe prave m i l preseku trećom pravom linijom (transverzalom) u istoj ravni, odgovarajući uglovi preseka sa transverzalom su podudarni.

Pošto su ovo ekvivalentna svojstva, bilo koje od njih bi se moglo uzeti kao definicija paralelnih pravih u euklidskom prostoru, ali prvo i treće svojstvo uključuju merenje, te su „komplikovanija“ od drugog. Dakle, drugo svojstvo je ono koje se obično bira kao određujuće svojstvo paralelnih pravih u euklidskoj geometriji. Ostala svojstva su onda posledice Euklidovog paralelnog postulata. Još jedno svojstvo koje takođe uključuje merenje je da linije paralelne jedna sa drugom imaju isti gradijent (nagib).

Istorija

Definicija paralelnih pravih kao para pravih u ravni koje se ne sastaju pojavljuje se kao definicija 23 u prvoj knjizi Euklidovih elemenata. Drugi Grci su raspravljali o alternativnim definicijama, često kao deo pokušaja da se dokaže paralelni postulat. Proklo pripisuje definiciju paralelnih pravih kao jednako udaljenih linija Posidoniju i citira Gemina na sličan način. Simplicije takođe pominje Posidonijevu definiciju kao i njenu modifikaciju od strane filozofa Aganisa.

Krajem devetnaestog veka, u Engleskoj, Euklidovi elementi su i dalje bili standardni udžbenik u srednjim školama. Tradicionalni tretman geometrije bio je pod pritiskom da se promeni novim razvojem u projektivnoj geometriji i neeuklidskoj geometriji, te je u to vreme napisano nekoliko novih udžbenika za nastavu geometrije. Glavna razlika između ovih reformskih tekstova, kako između njih samih, tako i između njih i Euklida, je tretman paralelnih linija. Ovi reformski tekstovi nisu bili bez svojih kritičara i jedan od njih, Čarls Dodžson (poznatiji kao Luis Karol), napisao je dramu Euklid i njegovi moderni rivali, u kojoj se ovi tekstovi osuđuju.

Jedan od prvih reformskih udžbenika bio je Elementarna geometrija Džejmsa Morisa Vilsona iz 1868. Vilson je svoju definiciju paralelnih pravih zasnovao na primitivnom pojmu pravca. Prema Vilhelmu Kilingu, ideja se može pratiti još od Lajbnica. Vilson, bez definisanja pravca pošto je primitivan, koristi termin u drugim definicijama, kao što je njegova šesta definicija, „Dve prave linije koje se susreću imaju različite pravce, a razlika njihovih pravaca je ugao između njih.“ Wilson (1868, p. 2) U definiciji 15 on uvodi paralelne prave na ovaj način; „Prave koje imaju isti pravac, ali nisu delovi iste prave, nazivaju se paralelne.Wilson (1868, p. 12) Avgustus De Morgan je pregledao ovaj tekst i proglasio ga neuspešnim, prvenstveno na osnovu ove definicije i načina na koji ju je Vilson koristio za dokaze o paralelnim pravima. Dodžson takođe posvećuje veliki deo svoje drame (Drugi čin, scena VI § 1) osudi Vilsonovog tretmana paralela. Vilson je uredio ovaj koncept od trećeg i viših izdanja svog teksta.

Ostale osobine, koje su predložili drugi reformatori, korišćene kao zamena za definiciju paralelnih pravih, nisu prošle mnogo bolje. Glavna poteškoća, kako je istakao Dodžson, bila je u tome što je za njihovo korišćenje na ovaj način bilo potrebno dodati dodatne aksiome sistemu. Pozidonijeva definicija ekvidistantne linije, koju je izložio Frensis Katbercon u svom tekstu Euklidska geometrija iz 1874. godine, pati od problema da tačke koje se nalaze na fiksnoj datoj udaljenosti na jednoj strani prave moraju biti prikazane da formiraju pravu liniju. Ovo se ne može dokazati i mora se pretpostaviti da je tačno. Odgovarajući uglovi formirani transverzalnim svojstvom, koje je V. D. Kuli koristio u svom tekstu iz 1860. godine, Elementi geometrije, pojednostavljeno i objašnjeno, zahteva dokaz činjenice da ako se jedna transverzala susreće sa parom pravih u kongruentnim odgovarajućim uglovima, onda sve transverzale moraju da rade tako. Opet, potreban je novi aksiom da bi se opravdala ova izjava.

Konstrukcija

Tri gornja svojstva dovode do tri različite metode konstrukcije paralelnih pravih.

• 
  Problem: Povucite pravu kroz a paralelno sa l.
• 
  Svojstvo 1: Prava m ima svuda isto rastojanje do prave l.
• 
  Svojstvo 2: Uzmite slučajnu pravu kroz a koja seče l u x. Pomerite tačku x u beskonačnost.
• 
  Svojstvo 3: l i m dele poprečnu pravu kroz a koja ih seče pod uglom od 90°.

Rastojanje između dve paralelne prave

Glavni članak: Rastojanje između dve linije

Pošto su paralelne prave u euklidskoj ravni jednako udaljene, postoji jedinstveno rastojanje između dve paralelne prave. Imajući u vidu jednačine dve nevertikalne, nehorizontalne paralelne prave,

$y=mx+b_{1}\,$

$y=mx+b_{2}\,,$

rastojanje između dve prave može se naći tako što se lociraju dve tačke (po jedna na svakoj pravoj) koje leže na zajedničkoj normali na paralelne prave i izračuna se rastojanje između njih. Pošto prave imaju nagib m, zajednička normala bi imala nagib −1/m i može se uzeti prava sa jednačinom y = −x/m kao zajednička uprava. Mogu se rešiti linearni sistemi

${\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}$

i

${\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}$

da bi se dobile koordinate tačaka. Rešenja linearnih sistema su tačke

$\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,$

i

$\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).$

Ove formule i dalje daju tačne koordinate tačke čak i ako su paralelne prave horizontalne (tj. m = 0). Udaljenost između tačaka je

$d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,$

što se redukuje na

$d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.$

Kada su linije date opštim oblikom jednačine prave (uključene su horizontalne i vertikalne linije):

$ax+by+c_{1}=0\,$

$ax+by+c_{2}=0,\,$

njihova udaljenost se može izraziti kao

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Literatura

• Kersey (the elder), John (1673). Algebra. Book IV. London. str. 177. 
• Heath, Thomas L. (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] izd.), New York: Dover Publications 

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

• Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6 
• Wilson, James Maurice (1868), Elementary Geometry (1st izd.), London: Macmillan and Co. 
• Wylie Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, McGraw–Hill 
• Papadopoulos, Athanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert: Présentation, traduction et commentaires, Paris: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5 
• Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi (2002). Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing. Springer. str. 408. ISBN 9783540424543. 
• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, ISBN 978-3-03719-105-7, . doi:10.4171–105 .  .
• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• Fenchel, Werner; Jakob Nielsen (mathematician) (2003). Asmus L. Schmidt, ur. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 
• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
• Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
• Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
• Samuels, David, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
• James W. Anderson (2005). Hyperbolic Geometry. Springer. ISBN 1-85233-934-9. 
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry Arhivirano na sajtu Wayback Machine (6. jul 2010), MSRI Publications, volume 31.
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9 
• Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations. In: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos), CNRS Editions, Paris, ISBN 978-2-271-08331-9 
• Van Brummelen, Glen (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. Pristupljeno 31. 12. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Roshdi Rashed and Athanase Papadopoulos (2017) Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries, De Gruyter Series: Scientia Graeco-Arabica 21. ISBN 978-3-11-057142-4.

Spoljašnje veze

• Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge