Пређи на садржај

Правило судњег дана

С Википедије, слободне енциклопедије
Џон Конвеј, проналазач алгоритма судњег дана

Правило судњег дана или алгоритам судњег дана је начин на који може да се израчуна дан недеље према задатом датуму. Он ради са перпетуалним календаром јер се Грегоријански календар понавља на сваких 400 година.

Овај алгоритам који се служи менталним рачунањем осмислио је Џон Конвеј[1][2] добивши инспирацију након што је прочитао рад Луиса Керола[3][4] о вечитом календару. Алгоритам користи чињеницу да сваке године постоји дан у недељи (тзв. судњи дан) на који „падају“ одређени датуми што се лако памте, на пример 4.4. 6.6. 8.8. 10.10. 12.12. и последњи дан фебруара увек падају на исти дан у било којој години. Примена овог алгоритма састоји се из три корака:

  1. Одредити „усидрен дан“ века 
  2.  Користи тај дан да се израчуна судња година 
  3. Изабери најближи датум од оних који се лако памте (4.4. 6.6. 8.8. 10.10. 12.12.), и изброј дане по модулу 7 између тог датума и датума за који се питамо на који дан недеље пада. 

Ова техника може се применити и на Грегоријански календар нове ере или Јулијански календар, иако ће њихови судњи дани понекад бити различити дани године.

Пошто овај алгоритам гледа на дане као бројеве по модулу 7, Џон Конвеј је предложио се дани недеље зову (на енглеском) "Noneday" или "Sansday" (за недељу), "Oneday", "Twosday", "Treblesday", "Foursday", "Fiveday", и "Six-a-day". Постоји неколико језика као нпр. португалски или галицијски који заснивају неке називе за дане на њиховој позицији у седмици.

Алгоритам је једноставан и не подразумева велико предзнање аритметике да би могао да се користи за ментално рачунање. Конвеј је могао да одреди дан у седмици за задати датум за мање од две секунде. Да би побољшао своју брзину, вежбао је одређивање дана у седмици на свом рачунару, који је био испрограмиран да га пита за насумичне датуме сваки пут када се укључи.[5]

Судњи дан за неке године

[уреди | уреди извор]

Судњи дан за тренутну годину у грегоријанском календару је понедељак за 2016. годину.

За неке друге године је:

Судњи дани за Грегоријански календар
Пон. Уто. Сре. Чет. Пет. Суб. Нед. Пон. Уто. Сре. Чет. Пет. Суб. Нед.
1898 1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909
1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920
1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931
1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943
1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954
1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965
1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976
1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032
2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043
2044 2045 2046 2047 2048 2049 2050 2051 2052 2053 2054 2055
2056 2057 2058 2059 2060 2061 2062 2063 2064 2065 2066
2067 2068 2069 2070 2071 2072 2073 2074 2075 2076 2077
2078 2079 2080 2081 2082 2083 2084 2085 2086 2087 2088
2089 2090 2091 2092 2093 2094 2095 2096 2097 2098 2099 2100

Напомена: Поља се пуне хоризонтално, прескачући свако колону за сваку преступну годину. Ова табела има циклус од 28 година, сем у Грегоријанском календару када су године дељиве са 100 које нису дељиве са 400. Цео циклус траје 28 година (1, 461 недеља) у Јулијанском календару, а 400 година (20, 871 недеља) у Грегоријанском.

Битни датуми који увек падају на судњи дан

[уреди | уреди извор]

Могуће је наћи дан недеље задате календарске године помоћу блиског судњег дана као референтне тачке. Да би се то олакшало, следи листа датума који се лако памте за сваки месец који увек падају на судњи дан.

Као што је споменуто изнад, последњи дан фебруара одређује судњи дан. За јануар, 3. јануар је судњи дан током непреступних година, ток је 4. јануар за преступне године, који се могу запамтити као трећи током три од 4 године, и као четврти у четвртој години. За март, може се запамтити псеудо датум 0. март, који се односи на дан пре 1. марта то јест последњи дан фебруара.

За месеце од априла до децембра, судњи дани су они са истим редним бројем дана и редним бројем месеца уз то да је месец паран (4.4. 6.6. 8.8. 10.10. 12.12.) где сви могу да се рачунају као судњи дан. Непаран број месеци може да се запамти као мнемоник „Ја радим од 9 до 5 у 7-11 радњи“ јер су 9/5, 7/11 судњи дани, као и 5/9 и 11/7 који су такође судњи дани.

Месец Лак датум Месец/Дан Мнемоник
Јануар 3. јануар (непреступне године), 4. јануар (преступна година) 1/3 или 1/4 трећа година у четири и четврти у четвртој
Фебруар 28. фебруар (непреступне године), 29. фебруар (преступна година) 2/28 или 2/29 последњи дан фебруара
Март "0 Март" 3/0 последњи дан фебруара
Април 4. аpril 4/4 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12
Мај 9. мај 5/9 9-до-5 у 7-11
Јун 6. јун 6/6 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12
Јул 11. јул 7/11 9-до-5 у 7-11
Август 8. август 8/8 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12
Септембар 5. септембар 9/5 9-до-5 у 7-11
Октобар 10. октобар 10/10 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12
Новембар 7. новембар 11/7 9-до-5 у 7-11
Децембар 12. децембар 12/12 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12

Пошто је судњи дан за одређену годину директно повезан са чињеницом да ли се питамо за преступну или непреступну годину, мора се успоставити разлика за јануар и фебруар те године.

Да би се нашао дан недеље католичког божића 2006. године (2008 судњи дан је био уторак). Пошто је 12. децембар судњи дан, 25. децембар ће пошто је тринаести дан после 12. бити понедељак.

Треба и напоменути да божић увек пада на дан пре судњег дана те године. Уз то 4. јул (амерички празник дана државности) је увек судњи дан, као и ноћ вештица (31. октобар).

 Да би се нашао дан недеље за терористички напад на „Близнакиње“ који се десио 11. септембра 2001. године морамо прво да знамо да је датум „сидро“ века уторак, и да је судњи дан за 2001. био један дан унапред, то јест среда. 5. септембар је ту најближи судњи дан, а 11. септембар је 6 дана касније и пада на уторак.

Налажење судњег дана године

[уреди | уреди извор]

Прво узимамо датум „сидро“ века. Следећа табела показује те датуме за векове од 1800 – 1899, 1900 – 1999, 200 – 2099, 2100 – 2199.

Век Сидро Мнемоник Индекс (дан недеље)
1800–1899 Friday 5 (Fiveday)
1900–1999 Wednesday We-in-dis-day

(most living people were born in that century)

3 (Treblesday)
2000–2099 Tuesday Y-Tue-K or Twos-day

(Y2K was at the head of this century)

2 (Twosday)
2100–2199 Sunday Twenty-one-day is Sunday

(2100 is the start of the next century)

0 (Noneday)

Даље, тражимо судњи дан године. Да бисмо ово постигли према Конвеју:

  1. Поделимо последње две цифре године (тај број ћемо звати y) са 12, и нека а буде floor тог количника 
  2. Нека b буде остатак те једначине 
  3. Поделимо тај остатак са 4 и нека c буде floor количника. 
  4. Нека d буде сума три броја (d = а + b + c). (Овде је могуће опет поделити сума са 7 и онда узети остатак. Овај број је еквивалентан суми последње две цифре узете године плус floor те две цифре подељен са 4). 
  5. Избројмо унапред напоменуте бројеве дана (d или остатак од дељења д са 7) из сидра да би се добио судњи дан те године. 

За 20. век година је 1966. на пример:

Као што је описано у тачки 4 изнад, то је еквивалентно са:

Тако да судњи дан за 1966. пада на понедељак.

Слично, судњи дан за нпр. 1966. је такође понедељак:

Зашто ово ради

[уреди | уреди извор]
Правило судњег дана

Рачунање судњег дана је тачно израчунавање броја дана између било ког датума у базној години са и истог датума у тренутној години, а онда остатак модулирати са 7. Када оба датума долазе после преступне године, разлика је само 365у + у/4 (заокружено). Али 365 је једнако 52 * 7 + 1, тако да када склонимо остатак остаје нам 

То нам даје једноставну формулу ако је корисник способан да дели велике броје у са 4 и 7. На пример можемо да израчунамо:

Што даје исто решење као у примеру изнад.

Број 12 улази у алгоритам када се узорак (у + у/4)mod 7 скоро понавља сваких 12 година. После 12 година, добијамо (12 + 12/4) mod 7 = 15 mod 7 = 1. Ако заменимо у са у mod12, онда одбацујемо тај додатни дан.

Метода „непар + 11“

[уреди | уреди извор]
Једноставан приказ методе "непар + 11"

Једноставнија метода за налажење судњег дана године је откривена 2010. године и описана је у истраживању Фонга и Волтерса које је објављено. Ова метода је еквивалентна

.

Врло је прилагођена рачунању у глави, зато што јој није потребно дељење са 4 или 12, а процедура се лако памти јер се понавља кључно правило.

Ако проширимо ово на налажење судњег дана, процедура се често описује као акумулација укупно 6 корака, који следе:

  1. Нека Т буду последње две цифре године 
  2. Ако је Т непарно, додај 11 
  3. Сад подели Т са два 
  4. Ако је т непарно, додај 11 
  5. Сада нека Т буде T = 7 − (T mod 7).
  6. Број Т дана унапред од сидра века да би се добио судњи дан године 

Ако применимо ову методу на 2005. на пример, кораци изгледају овако:

  1. T = 5
  2. T = 5 + 11 = 16 (додајемо 11 јер је Т непарно)
  3. T = 16/2 = 8
  4. T = 8 (не радимо ништа јер је Т парно)
  5. T = 7 − (8 mod 7) = 7 − 1 = 6
  6. Судњи дан за 2005 = 6 + уторак = понедељак

Експлицитна формула ове методе је: 

.

Иако во можда може да изгледа застрашујуће и компликовано, у тсвари је врло једноставно јер је заједнички подизраз y + 11(y mod 2)/2 који мора само једном да се израчуна.

Метода слова

[уреди | уреди извор]

Годинин судњи дан (DD) такође може да се израчуна и са радом са словима године (DL).

DD = (3 − DL) mod 7

Напомена: A = 1, B = 2, ..., G = 0.

За годину 1966. слово је B, тако да је судњи дан       DD = 3-2 =1 = понедељак.

Судњи дан Слово
Недеља C, DC
Понедељак B, CB
Уторак A, BA
Среда G, AG
Четвртак F, GF
Петак E, FE
Субота D, ED

Проналазак „сидра“ века

[уреди | уреди извор]

За Грегоријански календар:

5 × (c mod 4) mod 7 + уторак = сидро.

За Јулијански календар:

6 × (c mod 7) mod 7 + недеља = сидро.

Напомена: c = ⌊year/100.

Преглед свих судњих дана

[уреди | уреди извор]
Месец Датум Број седмице *
Јануар (непреступне године) 3, 10, 17, 24, 31 1–5
Јануар (преступне године) 4, 11, 18, 25 1–4
Фебруар (common years) 7, 14, 21, 28 6–9
Фебруар (leap years) 1, 8, 15, 22, 29 5–9
Март 7, 14, 21, 28 10–13
Април 4, 11, 18, 25 14–17
Мај 2, 9, 16, 23, 30 18–22
Јун 6, 13, 20, 27 23–26
Јул 4, 11, 18, 25 27–30
Август 1, 8, 15, 22, 29 31–35
Септембар 5, 12, 19, 26 36–39
Октобар 3, 10, 17, 24, 31 40–44
Новембар 7, 14, 21, 28 45–48
Децембар 5, 12, 19, 26 49–52
  •  Тако је у непреступној години дан недеље је један мањи од недеље.

Компјутерска формула за проналажење судњег дана године

[уреди | уреди извор]

За употребу и рад са рачунарима, следеће формула за проналазак судњег дана је врло прикладна:

За Грегоријански календар:

На пример, година 2009. има судњи дан недељу према Грегоријанском календару.

Као други пример, година 1946 има судњи дан четвртак:

За Јулијански каледнар:

Ова формула може и да се примени на пролептични Грегоријански календар и на пролептични Јулијански календар. Они користе floor функцију и астрономско бројање година за године пре нове ере.

За поређење, погледати рачунање у Јулијанском календару.

Циклус судњих дана од 400 година

[уреди | уреди извор]

Од кад се увео Грегоријански календар, прошло је 146 097 дана, или тачно 20 871 седмица, у 400 година, сидро се понавља свака 4 века. На пример сидро за 1700 – 1799 је сито као и сидро за 2100 – 2199, то јест недеља.

Потпуни 400- годишњи циклус је приказан у табели испод. Векови су за Грегоријански и пролептични Грегоријански календар, сем ако нису обележени са Ј што означава Јулијански. Грегоријанске преступне године су означене.

Јулијански

векови

———

Грегоријански
векови

\

Године

-1600J

-900J
-200J
500J
1200J
1900J
2600J
3300J

-1600
-1200
-800
-400
0
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600

-1500J

-800J
-100J
600J
1300J
2000J
2700J
3400J

-1400J

-700J
0J
700J
1400J
2100J
2800J
3500J

-1500
-1100
-700
-300
100
500
900
1300
1700
2100
2500
2900
3300
3700

-1300J

-600J
100J
800J
1500J
2200J
2900J
3600J

-1200J

-500J
200J
900J
1600J
2300J
3000J
3700J

-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
1800
2200
2600
3000
3400
3800

-1100J

-400J
300J
1000J
1700J
2400J
3100J
3800J

-1000J

-300J
400J
1100J
1800J
2500J
3200J
3900J

-1300
-900
-500
-100
300
700
1100
1500
1900
2300
2700
3100
3500
3900

00 28 56 84 Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет. Сре.
01 29 57 85 Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет.
02 30 58 86 Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет.
03 31 59 87 Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб.
04 32 60 88 Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон.
05 33 61 89 Пон. Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто.
06 34 62 90 Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет. Сре.
07 35 63 91 Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет.
08 36 64 92 Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб.
09 37 65 93 Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед.
10 38 66 94 Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон.
11 39 67 95 Пон. Суб. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто.
12 40 68 96 Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет.
13 41 69 97 Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет.
14 42 70 98 Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб.
15 43 71 99 Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед.
16 44 72 Пон. Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто.
17 45 73 Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет. Сре.
18 46 74 Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. Чет.
19 47 75 Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет.
20 48 76 Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед.
21 49 77 Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон.
22 50 78 Пон. Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто.
23 51 79 Уто. Пон. Нед. Суб. Пет. чет. Сре.
24 52 80 Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб. Пет.
25 53 81 Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед. Суб.
26 54 82 Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон. Нед.
27 55 83 Нед. Суб. Пет. Чет. Сре. Уто. Пон.

Негативне године користе астрономско бројање. Година 25. п. н. е. је -24, као што је приказано у колони.

Понављање грегоријанских судњих дана у циклусу од 400 година по данима и типу године:
Недеља Понедељак Уторак Среда Четвртак Петак Субота Укупно
Непреступне године 43 43 43 43 44 43 44 303
Преступне године 13 15 13 15 13 14 14 97
Укупно 56 58 56 58 57 57 58 400

Преступна година са понедељком као судњим даном значи да је недеља једна од 97 прескочених дана у секвенци од 497-дмо дневне секвенце. Тако је укупан број година са недељом као судњим даном једнак 71 минус број преступних година са понедељком као судњим даном итд. Пошто је понедељак као судњи дан прескочен 29. фебруара 2000. године и патерн преступних дана је симетричан са тим даном, понављање судњих дана по данима недеље (додајемо преступне и непреступне године) су симетричне са понедељком. Понављање судњих дана у преступним годинама су симетрични са судњим даном 2000. године то јест уторком.

Понављање конкретног дана као неког дана седмице може лако се добије из формуле изнад.

На пример, 28. фебруар је један дан после судњег дана претходне године, тако да је 58 пута уторак, четвртак и недеља итд. 29. фебруар је судњи дан преступне године, тако да је 15 пута сваки понедељак и среда.

Циклус од 28 година

[уреди | уреди извор]

Ако гледамо понављање судњих дана у јулијанском 28-одневном циклусу, постоји 1 преступна година и 3 непреступне године за сваки дан седмице, непреступне 6, 17, и 23 године после преступне (са интервалима од 6, 11, 6, и 5 година; неравномерно распоређене јер после 12 година дан је прескочен у секвенци судњих дана). Исти циклус се може применити да било који датум од 1. марта који пада на одређени дан седмице.

За сваки задати датум све то 28. фебруара који пада на одређени дан, 3 заједничке године су 5, 11, и 22 године после преступне године, са интервалима 5, 6, 11 и 6 година. Тако да је циклус исти, али са петогодишњим интервалом после уместо пре преступне године.

Дакле, за сваки датум сем за 29. фебруар, интервали између непруступних година које падају на одређени дан недеље су 6, 11, 11. 

За 29. фебруар који пада на одређени дан седмице постоји само један у сваких 28 година, и наравно, преступна је година.

Јулијански календар

[уреди | уреди извор]

Грегоријански календар прецизно се равна са астрономским дешавањима као што су равнодневнице, краткодневнице и дугодневнице. Током 1582. се увела ова модификација у Јулијаноски календар. Да би се исправила грешка у календару, 10 дана су прескочени, тако да је судљи дан померен 10 дана уназад. Табела укључује године Јулијанског календара, али је алгоритам за Грегоријански и пролептични Грегоријански календар.

Треба напоменути да Грегоријански календар није прихваћен у свим земљама у истом тренутку, тако да за многе земље, различите регије су користиле различите датуме за исти дан.

Потпуни примери

[уреди | уреди извор]

Пример 1 (1985)

[уреди | уреди извор]

Претпоставимо да знамо дан недеље за 8. септембар 1985. године. Почињемо са сидром века, средом. Овоме ћемо додати три ствари, и зовемо их a, b, c:

  • a је floor од 85/12, што је 7 
  • b је 85 мод 12, што је 1 
  • c је floor b/4 што је 0 

Из овога добијамо да је a+b+c = 8. Бројимо 8 дана од среде, долазимо да четвртка, што јесте судњи дан за 1985. годину. Сада поредимо 18. септембар са блиским судњим даном, 5. септембром. Видимо да је 18. 13 дана од судњег то јест један дан мање од две недеље.

Пример 2 (остали векови)

[уреди | уреди извор]

Претпоставимо да желимо да нађемо дан седмице на који је избио Амерички цивилни рат, који се десио 12. априла 1861. Сидро за прошли век је било 99 дана од четвртка, или, другим речима петак (израчунат као (18 + 1) × 5 + ⌊18/4⌋; или можемо само да погледамо у табелу изнад, која приказује сидра за векове). Цифре 61 имају размак од 6 дана до судњег дана, четвртка. Дакле, 4. април је био четвртак, тако да је 12. априли, 8 дана касније био петак.

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ John Horton Conway, "Tomorrow is the Day After Doomsday", Eureka, volume 36, pages 28–31, October 1973.
  2. ^ Richard Guy, John Horton Conway, Elwyn Berlekamp : "Winning Ways: For Your Mathematical Plays, Volume. 2: Games in Particular", pages 795–797, Academic Press, London. 1982. ISBN 978-0-12-091102-8.
  3. ^ Carroll, Lewis (1887). „To Find the Day of the Week for any Given Date”. Nature. 35 (909): 517. Bibcode:1887Natur..35..517C. S2CID 4077610. doi:10.1038/035517a0. 
  4. ^ Martin Gardner, "The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays", pages 24–26, Springer-Verlag, 1996
  5. ^ Alpert, Mark (1999). „Not Just Fun and Games”. Scientific American. 280 (4): 40—42. Bibcode:1999SciAm.280d..40A. doi:10.1038/scientificamerican0499-40. 

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]