Таласна једначина

Имплус који се простире кроз жицу са фиксираним крајевима моделован преко таласне једначине

Таласна једначина је важна парцијална диференцијална једначина којом се описује простирање таласа. Таласи могу бити звучни, елетромагнетни, водени итд., али се сви простиру на истом принципу сажетом у таласну једначину. Таласна једначина се јавља и користи у акустици, електромагнетизму, оптици, динамици флуида. Најзначајнији допринос решењу проблема описивања осцилација и простирања таласа дали су Жан дАламбер, Леонард Ојлер, Данијел Бернули и Жозе-Луј Лагранж.

Увод

Таласна једначина је типични пример хиперболичне парцијалне диференцијалне једначине. У најједноставнијем облику, таласна једначина се односи на скаларну величину u која задовољава:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\Delta u,$

где је c (константна) брзина таласа а $\Delta =\nabla ^{2}$ је Лапласијан. За звучне таласе у ваздуху на 20 °C износи око 343 m/s (видети брзина звука). За осцилујућу жицу брзина може да се мења у великом опсегу јер зависи од линеарне густине жице и њене затегнутости. Много реалистичнији модел једначине таласа узима у обзир дисперзију, тј, зависност брзине таласа од његове фреквенције. Тада се c замењује фазном брзином:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\Delta u$

$\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

Скаларна таласна једначина у једној просторној димензији

Извођење таласне једначине

Таласна једначина у једнодимензионалном случају можемо да изведемо на следећи начин: Замислимо низ малих тегова, сваки масе m, повезаних опругама од којих свака има дужину h и коефицијент еластичности k:

Овде u(x) представља отклон од равнотежног положаја мале масе на координати x. Силе које делују на масу $m$ на положају $x+h$ су:

$F_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}$

$F_{Hooke}=F_{x+2h}+F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]$

Једначина кретања материјалне тачке на локацији x+h је:

$m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

где је временска зависност u(x) дата експлицитно.

Ако се низ тегова састоји од N тегова равномерно распоређених на дужини L = N h тада је укупна маса M = N m, и укупни коефицијент еластичности низа K = k/N па горњу једначину можемо да напишемо као:

${\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}$

Израчунавањем лимеса $N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0$ (подразумевањем униформности) налазимо:

${\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}$

где је (KL²)/M квадрат брзине којом се деформација простире дуж низа.

Решење проблема почетних вредности

Опште решење једнодимензионалне скаларне таласне једначине је

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}$

извео је Даламбер. У факторском облику таласна једначин аможе да се напише као

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.\,$

Ако су F и G произвољне функције следи да сваки збир облика

$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\,$

задовољава таласну једначину. Два члана представљају два таласа у покрету: деформација дата аргументом F или G креће се брзином c у смеру напред (за F) и назад (за G). Ове функције могу ближе да се одреде на основу произвољних почетних услова:

$u(x,0)=f(x)\,$

$u_{t}(x,0)=g(x)\,$

Резултат је Даламберова формула:

$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

Скаларна таласна једначина у три просторне димензије

Решење тродимензионалног проблема почетних вредности може да се добије из решења једначине за сферне таласе. Тај резултат онда може да се сведе на дводимензионални случај.

Сферни таласи

Скаларна таласна једначина остаје неизмењена при ротацији просторних координата и стога може да се очекује да постоји решење које зависи само од радијалног растојања од одабране тачке. Такво решење мора да задовољи

$u_{tt}-c^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)=0.\,$

Ова једначина може да се напише и као

$(ru)_{tt}-c^{2}(ru)_{rr}=0;\,$

величина ru задовољава једнодимензионалну таласну једначину Стога, постоје решења у облику

$u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,$

где су F и G произвољне функције. Сваки члан може да се тумачи као сферни талас који се шири или скупља (контрахује) брзином c. Такве таласе ствара тачкасти извор.

Решење општег проблема почетних вредности

Таласна једначина је линеарна по u и остаје неизмењена при транслацији у простору и времену. Стога, можемо да генеришемо велики број решења транлацијом и сумирањем сферичних таласа. Нека је φ(ξ,η,ζ) произвољна функција три независне променљиве, и нека је сферични талас F делта функција: то јест, нека је F слаба граница континуалне функције чији је интеграл једнак јединици, а чији опсег где је функција већа од нуле скупљен у координатни почетак. Нека фамилија сферних таласа сгерних таласа има центар у тачки (ξ,η,ζ) и нека је r радијално растојање од те тачке. Тада је

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,$

Ако је u суперпозиција таквих таласа са тежинском функцијом φ, добијамо

$u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta ;\,$

где је именилац 4πc уведен због погодности.

Користећи дефиницију делта функције, u може исто да се представи као

$u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,$

где су α, β, и γ координате на јединичној сфери S, а ω елемент површине на сфери S. Овај резултат може да се тумачи као да је u(t,x) средња вредност функције φ поможена са t на сфери радијуса ct центрираној на x:

$u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].\,$

Следи да је

$u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,$

Средња вредност је парна функција од t, и стога ако је

$v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),\,$

тада је

$v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.\,$

Ове формуле дају решење за проблем почетних вредности таласне једначине. Оне показују да решење у датој тачки Р, за дато (t,x,y,z) зависи само од података на сфери радијуса ct пресеченој светлосним конусом нацртаним уназад из тачке Р. Решење не зависи од података унутар те сфере.

Скаларна таласна једначина у две просторне димензије

У две просторне димензије, таласна једначина је облика

$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).\,$

Овај проблем можемо да решимо на основу тродимензионалног решења ако сматрамо да је u решење у три димензије које је независно од треће димензије. Ако је

$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),\,$

тада формула за тродимензионално решење постаје

$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,\,$

где су α и β прве две координате јединичне сфере, а dω елемент површине сфере. Овај интеграл може да се напише као интеграл по диску D са центром у (x,y) и радијусом ct:

$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .\,$

Очигледно је да решење на (t,x,y) зависи не само од података на светлосном конусу где је

$(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},\,$

него исто и од података унутар тог конуса.

Проблем с границама

Једна просторна димензија

$-u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,$

$u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,$

$u(t,x)=T(t)v(x).\,$

${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,$

$v''+\lambda v=0,\,$

$-v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,$

Неколико просторних димензија

${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,$

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}=g(x),\,$

$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,$

у D, и

${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,$

на B.

Нехомогена таласна једначина у једној димензији

$u(x,0)=f(x)\,$

$u_{t}(x,0)=g(x).\,$

$\int \int _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)dxdt=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt.$

$\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt.$

$\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx.$

$\int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)\,$

$=\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x,t)dx+cu_{t}(x,t)dt\right)\,$

$=c\int _{L_{1}}du(x,t)=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\,$

$\int _{L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)$

$=-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x,t)dx+cu_{t}(x,t)dt\right)$

$=-c\int _{L_{2}}du(x,t)=-\left(cf(x_{i}-ct_{i})-cu(x_{i},t_{i})\right)$

$=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\,$

$-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt$

$2cu(x_{i},t_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt$

$2cu(x_{i},t_{i})=\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cf(x_{i}+ct_{i})+cf(x_{i}-ct_{i})+\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt$

$u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt.\,$

Види још

• Хелмхолцова једначина
• Једначина звучних таласа
• Једначина електромагнетних таласа
• Нехомогена једначина електромагнетних таласа
• Доплеров ефекат
• Шредингерова једначина
• Математички аспект таласне једначине је дискутован на Дисперзивне парцијалне диференцијалне једначине Wiki.

Литература

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., . 124.  (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., . 131.  (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.