Лапласов оператор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.

Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију u = u(x, y, z), биће:

div\,grad\,u = (\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial y^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial z^2}),

што се може написати као:

div\,grad\,u = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2})u.

Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију u, представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:

\Delta = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2}).

Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:

 \nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) \;.

Координатни изрази[уреди]

У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:

 \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \;, \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \;.

У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :

 \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } \;.

У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:

 \nabla^2 t 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left(r {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 t \over \partial z^2 }

У тродимензионалном сферном координатном систему је :

 \nabla^2 t 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left(\sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}

У Еуклидском простору {\mathbb R}^n Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као

\Delta_n=\nabla_n^2=\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}.

Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:

\nabla^2  f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
где су H_i\ Ламеови коефицијенти.

У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором g_{ij} Лапласијан је дан са:

 \nabla^2  f = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k})

а метрика простора дефинисана је са:

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .

Својства[уреди]

Лапласов оператор је линеаран:

 \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \;.

Такође важи :

\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \;.

Уопштења[уреди]

Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.