Лапласов оператор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.

Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију , биће:

,

што се може написати као:

.

Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију , представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:

.

Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:

Координатни изрази[уреди]

У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:

У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :

У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:

У тродимензионалном сферном координатном систему је :

У Еуклидском простору Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као

.

Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:

где су Ламеови коефицијенти.

У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором Лапласијан је дан са:

а метрика простора дефинисана је са:

.

Својства[уреди]

Лапласов оператор је линеаран:

Такође важи :

Уопштења[уреди]

Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.