Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.
Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију
, биће:
,
што се може написати као:
.
Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију
, представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:
.
Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:

У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:

У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :

У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:

У тродимензионалном сферном координатном систему је :

У Еуклидском простору
Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као
.
Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:

![{\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20976c3be6b574fb20939f284033ac2c05f005ac)
- где су
Ламеови коефицијенти.
У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором
Лапласијан је дан са:

а метрика простора дефинисана је са:
.
Лапласов оператор је линеаран:

Такође важи :

Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.