Извор странице −1

{{Infobox number-lat
| number = -1
| cardinal = −1, minus jedan, {{nowrap|negativno jedan}}
| ordinal = −1. (minus prvo)
| lang1 = [[Hindu–Arabic numeral system|Arapski]]
| lang1 symbol = −{{resize|150%|١}}
| lang2 = [[Кинески бројеви#Negative numbers|Kineski broj]]
| lang2 symbol = 负一，负弌，负壹
| lang3 = [[Бенгалски језик|Bengalski]]
| lang3 symbol = −{{resize|150%|১}}
| lang4 = [[Бинарни систем|Binarni]] ([[bajt]])
| lang4 symbol = {{aligned table|leftright=y
| [[Signed magnitude|S&M]]: | 100000001<sub>2</sub>
| [[Komplement dvojke|2sC]]: | 11111111<sub>2</sub>
}}
| lang5 = [[Хексадецимални систем|Heks]] ([[bajt]])
| lang5 symbol = {{aligned table|leftright=y
| [[Signed magnitude|S&M]]: | 0x101<sub>16</sub>
| [[Komplement dvojke|2sC]]: | 0xFF<sub>16</sub>
}}
}}
[[Датотека:Número-1.gif|мини|−1]]

U [[математика|matematici]], '''−1''' je [[additive inverse|aditivno inverzna]] vrednost od [[1 (број)|1]].<ref>-{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{citation|title=Elementary Algebra|first=Alan|last=Tussy|first2=R.|last2=Gustafson|edition=5.|publisher=Cengage Learning|year=2012|isbn=9781133710790|url=https://books.google.com/books?id=De4KAAAAQBAJ&pg=PA40| pages = 40}}}}<nowiki></nowiki>}-</ref><ref>{{cite book-lat|last1=Brase|first1=Corrinne Pellillo|url=https://books.google.com/books?id=Z8wm-oVkbm8C&q=sign+change+additive+inverse|title=Basic Algebra for College Students|last2=Brase|first2=Charles Henry|date=1976|publisher=Houghton Mifflin|isbn=978-0-395-20656-0|pages=54|language=en|quote=...to take the additive inverse of the member, we change the sign of the number.}}</ref> Drugim rečima, to je broj koji kad se [[сабирање|doda]] na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je [[негативан број|negativni]] [[ceo broj]] veći od negativne dvojke (−2) i manji od&nbsp;[[0 (број)|0]].<ref>{{Cite web-lat|title=Additive Inverse|url=http://www.learnalberta.ca/content/memg/Division03/Additive%20Inverse/index.html|access-date=2020-08-27|website=www.learnalberta.ca}}</ref>

Negativna jedinica je povezana sa [[Ојлеров идентитет|Ojlerovim identitetom]] jer je -{''e''{{sup|''i''{{pi}}}} = −1}-.<ref name="EOM">{{cite encyclopedia-lat |last=Stepanov |first=S. A. |encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]] |title=Euler identity |publisher= |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_identity&oldid=11612 | date=7. 2. 2011 |accessdate=7. 9. 2018}}</ref><ref>-{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{citation|title=The Transcendence of π and the Squaring of the Circle|last1=Milla|first1=Lorenz|arxiv=2003.14035|year=2020}}}}<nowiki></nowiki>}-</ref><ref>{{Cite web-lat|url=https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20210623215444/https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |archive-date=2021-06-23 |url-status=live|title=e is transcendental|last=Hines|first=Robert|website=University of Colorado}}</ref>

U [[Развој софтвера|razvoju softvera]], '''−1''' se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da [[Sentinel value|promenljiva ne sadrži korisne informacije]].

'''Negativno jedan''' ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.<ref>{{cite book-lat|title=Mathematical analysis and applications|url=https://books.google.com/books?id=Xrh89dLWZqEC|author=Jayant V. Deshpande|year=|isbn=978-1-84265-189-6|pages=}}</ref>

== Algebarska svojstva ==

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći [[Дистрибутивност|zakon distributivnosti]] i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za ''-{x}-'' koje je [[realni broj]] važi

:<math>x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0 \cdot x=0</math>

gde se koristi činjenica da je svako realno ''-{x}-'' puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem [[cancellation property|poništavanja]]

:<math>0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x \, </math>

[[Датотека:ImaginaryUnit5.svg|мини|десно|0, 1, −1, '''''[[имагинарна јединица|-{i}-]]''''', i -{−'''''i'''''}- u [[комплексна раван|kompleksnoj]] ili [[декартов правоугли координатни систем|kartezijanskoj ravni]]]]

Drugim rečima,

:<math>x+(-1)\cdot x=0 \, </math>

tako da je (−1)&nbsp;·&nbsp;''-{x}-'', ili&nbsp;−''-{x}-'', aritmetička inverzija od ''-{x}-''.

=== Kvadrat od −1 ===
[[Квадрат (алгебра)|Kvadrat]] od −1, tj. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti jednačinom

:<math>0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+(-1)]</math>

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije −1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

:<math>0 =-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)</math>

Druga jednakost sledi iz činjenice da je 1 multiplikativni identitet. Međutim, sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

:<math>(-1) \cdot (-1) = 1</math>

Gornji argumenti važe za bilo koji [[алгебарски прстен|prsten]], koncept [[апстрактна алгебра|apstraktne algebre]] kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

=== Kvadratni koren od −1 ===

Iako nema [[реалан број|realnih]] kvadratnih korena od −1, [[kompleksni broj]] ''[[имагинарна јединица|-{i}-]]'' zadovoljava -{''i''}-<sup>2</sup> = −1, i kao takav se može smatrati [[квадратни корен|kvadratnim korenom]] od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je -{−''i''}-.<ref>{{cite web-lat|url=http://mathforum.org/library/drmath/view/58251.html |title=Ask Dr. Math |publisher=Math Forum |date= |accessdate=14. 10. 2012}}</ref> U algebri [[kvaternion]]a, koja sadrži kompleksnu ravan, [[kvaternion#Kvadratni koren od −1|jednačina ''-{x}-''<sup>2</sup> = −1 ima beskonačno mnogo rešenja]].

== Eksponencijacija do negativnih celih brojeva ==

[[Степеновање|Eksponencijacija]] nenultog realnog broja se može proširiti na [[степеновање#Negative integer exponents|negativne cele brojeve]]. Prema definiciji -{''x''<sup>−1</sup> = {{sfrac|1|''x''}},}- znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove [[реципрочна вредност|recipročne vrednosti]]. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon -{''x''<sup>''a''</sup>''x''<sup>''b''</sup> = ''x''<sup>(''a'' + ''b'')</sup>}- za realne brojeve -{''a''}- i -{''b''}-.

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja ''-{x}-''<sup>−1</sup> kao multiplikativne inverzne vrednosti od ''-{x}-''.

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove [[инверзна функција|inverzne funkcije]] ili [[инвертибилна матрица|inverzne matrice]]. Na primer, -{''f''<sup>−1</sup>(''x'')}- je inverzna funkcija od -{''f''(''x'')}-, ili -{sin}-<sup>−1</sup>(''-{x}-'') je notacija za [[инверзне тригонометријске функције|-{arcsin}-]] funkciju.

== Računarska reprezentacija ==
{{Main-lat|Reprezentacije brojeva sa znakom}}

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći [[komplement dvojke]]. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće −1 kao binarni niz „11111111” ili „-{FF}-” u [[хексадецимални систем|heksadecimalnom]] obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od -{''n''}- jedinica predstavlja 2<sup>-{''n''}-</sup>&nbsp;−&nbsp;1, najveću moguću vrednost koju -{''n''}- bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznad predstavlja 2<sup>8</sup>&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;255.

== Programski jezici ==

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za [[Odsecanje niza|indeksiranje nekih tipova podataka]] (kao što je [[Низ (структура података)|niz]]), −1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada −1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

== Vidi još ==
* [[Menelaus's theorem|Manelausova teorema]]

== Reference ==
{{reflist}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* -{Ivan Flores, ''The Logic of Computer Arithmetic'', Prentice-Hall (1963)}-
* {{cite book-lat| ref=harv| last = Koren | first = Israel |title=Computer Arithmetic Algorithms|publisher=A.K. Peters|year=2002|isbn=978-1-56881-160-4|pages=}}
* {{cite book-lat| ref=harv| url=http://ed-thelen.org/comp-hist/GE-635.html#Binary%20Fixed-Point%20Numbers|title=GE-625 / 635 Programming Reference Manual|publisher=[[General Electric]]|date=januar 1966|accessdate=15. 8. 2013}}
* {{cite book-lat| ref=harv| url=http://download.intel.com/products/processor/manual/325462.pdf|title=Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer’s Manual|at=Section 4.2.1|publisher=[[Intel]]|accessdate=6. 8. 2013}}
* {{cite book-lat|ref=harv|url=https://www.power.org/documentation/power-isa-version-2-07/|title=Power ISA Version 2.07|at=Section 1.4|publisher=[[Power.org]]|accessdate=6. 8. 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20140109174735/https://www.power.org/documentation/power-isa-version-2-07/|archive-date=9. 1. 2014|url-status=dead}}
* {{cite book-lat| ref=harv| last=Finch|first=Steven|year=2003|title=Mathematical constants|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|url-access=registration|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-81805-6| pages = }}
* {{cite book-lat| ref=harv| first=Robert|last=May|authorlink=Robert May, Baron May of Oxford|year=1976|title=Theoretical Ecology: Principles and Applications|publisher=Blackwell Scientific Publishers|isbn=978-0-632-00768-4}}
* {{cite book-lat| ref=harv|last=Conway|first=John H.|authorlink=John Horton Conway|author2=[[Richard K. Guy|Guy, Richard K.]]|url=https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA254 |title=The Book of Numbers|publisher=Springer|year=1996|isbn=978-0-387-97993-9|pages=}}
* -{[[Robert P. Crease|Crease, Robert P.]] (10.&nbsp;5. 2004), "[http://physicsworld.com/cws/article/print/2004/may/10/the-greatest-equations-ever The greatest equations ever]", ''[[Physics World]]''}- [neophodna registracija]
* {{cite book-lat| ref=harv|last=Dunham|first=William|authorlink=William Dunham (matematičar)|title=Euler: The Master of Us All|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=1999|isbn=978-0-88385-328-3|pages=}}
* -{Euler, Leonhard (1922), ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587.image.r=%22has+celeberrimas+formulas%22.f169.langEN Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus]'', Leipzig: B. G. Teubneri}-
* -{[[Edward Kasner|Kasner, E.]], & [[James R. Newman|Newman, J.]] (1940), ''[[Mathematics and the Imagination]]'', [[Simon & Schuster]]}-
* {{cite book-lat| ref=harv|last = Maor | first = Eli | authorlink = Eli Maor|title={{mvar|e}}: The Story of a number|publisher=[[Princeton University Press]]|year=1998|isbn=978-0-691-05854-2|pages=}}
* {{cite book-lat| ref=harv|last = Nahin | first = Paul J. |title=Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills|publisher=[[Princeton University Press]]|year=2006|isbn=978-0-691-11822-2|pages=}}
* {{cite book-lat| ref=harv|last=Paulos|first=John Allen|authorlink=John Allen Paulos|title=Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics|publisher=[[Penguin Books]]|year=1992|isbn=978-0-14-014574-8|pages=}}
* -{Reid, Constance}- (razna izdanja), -{''From Zero to Infinity'', [[Mathematical Association of America]]}-
* {{cite book-lat| ref=harv|author=Sandifer, C. Edward|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 |title=Euler's Greatest Hits|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2007|isbn=978-0-88385-563-8|pages=}}
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{citation |title= A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics |first= David |last= Stipp |year=2017 |publisher= [[Basic Books]]}}}}<nowiki></nowiki>}-
* {{cite journal-lat | last = Wells | first = David | year = 1990 | title = Are these the most beautiful? | url =https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_summer-1990_12_3/page/37| journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | volume = 12 | issue = 3| doi = 10.1007/BF03024015 | pages = 37–41 }}
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{citation |first= Robin |last= Wilson |author-link= Robin Wilson (matematičar) |title= Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |publisher= [[Oxford University Press]] |year= 2018}}}}<nowiki></nowiki>}-
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{Citation |last= Zeki |first= S. |last2= Romaya |first2= J. P. |last3= Benincasa |first3= D. M. T. |last4= Atiyah |first4= M. F. |authorlink= Semir Zeki |authorlink4= Michael Atiyah |title= The experience of mathematical beauty and its neural correlates |journal= Frontiers in Human Neuroscience |volume= 8 | year= 2014 |doi= 10.3389/fnhum.2014.00068|pmc= 3923150 |pmid=24592230| pages = 68 }}}}<nowiki></nowiki>}-
* {{cite book-lat|author1=Chris Brink|author2=Wolfram Kahl|author3=Gunther Schmidt|title=Relational Methods in Computer Science|url=https://archive.org/details/relationalmethod00jips|url-access=limited|date=1997|publisher=Springer|isbn=978-3-211-82971-4|page=[https://archive.org/details/relationalmethod00jips/page/n16 4]}}
* {{cite book-lat|author1=Celestina Cotti Ferrero|author2=Giovanni Ferrero|title=Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups|year=2002|publisher=Kluwer Academic Publishers|isbn=978-1-4613-0267-4|pages=62 and 67}}
* {{cite book-lat|author=Eric C.R. Hehner|author-link=Eric Hehner|title=A Practical Theory of Programming|year=1993|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-8596-5|page=230}}
* [[Џон Хортон Конвеј|-{Conway, John H.}-]], & -{[[Richard K. Guy|Guy, Richard K.]] (1996), ''[https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA254 The Book of Numbers]'', Springer}-, {{ISBN|978-0-387-97993-9}}
* -{[[Robert P. Crease|Crease, Robert P.]] (10.&nbsp;5. 2004), "[http://physicsworld.com/cws/article/print/2004/may/10/the-greatest-equations-ever The greatest equations ever]", ''[[Physics World]]''}- [neophodna registracija]
* -{[[William Dunham (matematičar)|Dunham, William]] (1999), ''Euler: The Master of Us All'', [[Mathematical Association of America]]}-, {{ISBN|978-0-88385-328-3}}
* -{Euler, Leonhard (1922), ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587.image.r=%22has+celeberrimas+formulas%22.f169.langEN Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus]'', Leipzig: B. G. Teubneri}-
* -{[[Edward Kasner|Kasner, E.]], & [[James R. Newman|Newman, J.]] (1940), ''[[Mathematics and the Imagination]]'', [[Simon & Schuster]]}-
* -{[[Eli Maor|Maor, Eli]] (1998), ''{{mvar|e}}: The Story of a number'', [[Princeton University Press]]}-, {{ISBN|0-691-05854-7}}
* -{Nahin, Paul J. (2006), ''Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills'', [[Princeton University Press]]}-, {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
* -{[[John Allen Paulos|Paulos, John Allen]] (1992), ''Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics'', [[Penguin Books]]}-, {{ISBN|0-14-014574-5}}
* -{Sandifer, C. Edward (2007), ''[https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 Euler's Greatest Hits]'', [[Mathematical Association of America]]}-, {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{citation |title= A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics |first= David |last= Stipp |year=2017 |publisher= [[Basic Books]]}}}}<nowiki></nowiki>}-
* {{cite journal-lat | author-link= David G. Wells | last1 = Wells | first1 = David | year = 1990 | title = Are these the most beautiful? | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | volume = 12 | issue = 3| pages = 37–41 | doi = 10.1007/BF03024015 | s2cid = 121503263 }}
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{citation |first= Robin |last= Wilson |author-link= Robin Wilson (mathematician) |title= Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |publisher= [[Oxford University Press]] |year= 2018 |isbn= 978-0-192-51406-6 }}}}<nowiki></nowiki>}-
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{Citation |last1= Zeki |first1= S. |last2= Romaya |first2= J. P. |last3= Benincasa |first3= D. M. T. |last4= Atiyah |first4= M. F. |author-link1= Semir Zeki |author-link4= Michael Atiyah |title= The experience of mathematical beauty and its neural correlates |journal= Frontiers in Human Neuroscience |volume= 8 |pages= 68 | year= 2014 |doi= 10.3389/fnhum.2014.00068|pmc= 3923150 |pmid=24592230|doi-access= free }}}}<nowiki></nowiki>}-
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
* [http://developers.google.com/protocol-buffers/docs/encoding#types -{Protocol Buffers: Signed Integers}-] {{en|el}}
* -{<nowiki></nowiki>{{latinize|{{MathWorld|title=Additive Inverse|urlname=AdditiveInverse|author=Margherita Barile}}}}<nowiki></nowiki>}-

{{podnožje|lat=da|Matematika}}

[[Категорија:Цели бројеви]]
[[Категорија:Математичке константе]]