Bazelski problem

U teoriji brojeva, Bazelski problem je pitanje određivanja tačnog zbira recipročnih vrednosti kvadrata svih prirodnih brojeva. Prvi ga je predložio italijanski matematičar Pjetro Mengoli 1644. godine, a rešio ga je Leonard Ojler 1735. godine. Sam problem je dobio ime prema Ojlerovom rodnom gradu, Bazelu.

Postavka problema i njegovo rešenje

Bazelski problem traži tačan zbir beskonačnog reda

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

Kako je ovaj problem mučio poznate matematičare skoro čitav vek, Ojlerovo rešenje je svom tvorcu donelo neverovatnu slavu u dvadeset osmoj godini. Ojler je u značajnoj meri uopštio problem, a njegove ideje je godinama kasnije iskoristio Bernhard Riman u svom delu O broju prostih brojeva manjih od zadate veličine (On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude) iz 1859. godine, u kome je definisao zeta-funkciju i dokazao njene osnovne osobine.

Približna vrednost zbira reda je 1.644934. Bazelski problem traži „tačnu“ cifru, i matematički dokaz da je izračunata vrednost korektna. Ojler je dobio da je tačna suma

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}},$

i objavio svoj rezultat 1735. godine. Svoje argumente je zasnovao na pravilima algebre konačnih veličina, što u opštem slučaju može da da netačne rezultate, a strogi dokaz da je dobijena tačna vrednost zbira dao je tek 1741. godine.

Literatura

• Maor, Eli (2007). The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. str. 94. ISBN 978-0-691-12526-8. 
• Dunham, William (1990). Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. New York: John Wiley. str. glava 9. 

Spoljašnje veze

• Kako je Ojler izračunao traženi zbir (jezik: engleski)
• Kako Ojlerovi i Bernulijevi beskonačni redovi mogu da učine interesantnim čas matematike (jezik: engleski)
• Četrnaest dokaza određivanja vrednosti ζ(2), koje je skupio Robin Čapman (jezik: engleski)