Базелски проблем

Из Википедије, слободне енциклопедије

У теорији бројева, Базелски проблем је питање одређивања тачног збира реципрочних вредности квадрата свих природних бројева. Први га је предложио италијански математичар Пјетро Менголи 1644. године, а решио га је Леонард Ојлер 1735. године. Сам проблем је добио име према Ојлеровом родном граду, Базелу.

Поставка проблема и његово решење[уреди]

Базелски проблем тражи тачан збир бесконачног реда


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right).

Како је овај проблем мучио познате математичаре скоро читав век, Ојлерово решење је свом творцу донело невероватну славу у двадесет осмој години. Ојлер је у значајној мери уопштио проблем, а његове идеје је годинама касније искористио Бернхард Риман у свом делу О броју простих бројева мањих од задате величине (On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude) из 1859. године, у коме је дефинисао зета-функцију и доказао њене основне особине.

Приближна вредност збира реда је 1.644934.[1] Базелски проблем тражи „тачну“ цифру, и математички доказ да је израчуната вредност коректна. Ојлер је добио да је тачна сума

\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6},

и објавио свој резултат 1735. године. Своје аргументе је засновао на правилима алгебре коначних величина, што у општем случају може да да нетачне резултате, а строги доказ да је добијена тачна вредност збира дао је тек 1741. године.[2]

Извори[уреди]

  1. ^ Maor, Eli (2007). The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. стр. 94. ISBN 978-0-691-12526-8. 
  2. ^ Dunham, William (1990). Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. New York: John Wiley. стр. глава 9. 

Литература[уреди]

  • Maor, Eli (2007). The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. стр. 94. ISBN 978-0-691-12526-8. 
  • Dunham, William (1990). Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. New York: John Wiley. стр. глава 9. 

Спољашње везе[уреди]