Doplerov efekat

Doplerov efekat — promena talasne dužine koju je izazvalo kretanje izvora zvuka.

Animacija koja ilustruje Doplerov efekat: motor ili sirena automobila više se čuju kada se izvor zvuka približava nego kada se udaljava. Crveni krugovi predstavljaju zvučne talase.

Doplerov efekat je pojava da usled relativnog kretanja prijemnika ili izvora dolazi do menjanja frekvencije talasa. Ako se prijemnik i predajnik kreću jedan ka drugom, frekvencija se pomera naviše (raste), a ako se prijemnik i predajnik kreću jedan od drugog, frekvencija se pomera naniže (opada). Na primer, Doplerov efekat možemo primetiti na auto-putu: buka koju motor automobila pravi dok nam se približava drugačija je od one koju čujemo dok se od nas udaljava.

Izuzetno je značajna primena Doplerovog efekta u astronomiji, astrofizici, medicini i u konstrukciji Dopler radara (radar koji određuje brzinu kretanja objekta, npr. aviona)

Formula za izračunavanje frekvencije prijemnika u slučaju relativnog približavanja (tada je u brojiocu „+”, a u imeniocu „–”) ili relativnog udaljavanja (tada je u brojiocu „–”, a u imeniocu „+”):

$\nu _{L}={\frac {u\pm v_{L}}{u\mp v_{S}}}\cdot \nu _{S}$

Legenda:

• $\nu _{L}$ — frekvencija prijemnika (frekvencija koju slušalac čuje)
• $\nu _{S}$ — frekvencija predajnika (izvora)
• $u$ — brzina zvuka u vazduhu (330 m/s)
• $v_{L}$ — brzina prijemnika (slušaoca)
• $v_{S}$ — brzina predajnika (izvora)

Uobičajeni primer Doplerovog pomeranja je promena visine tona koja se čuje kada se vozilo koje trubi približava i udaljava od posmatrača. U poređenju sa emitovanom frekvencijom, primljena frekvencija je veća tokom približavanja, identična u trenutku prolaska, a niža tokom udaljavanja. Razlog za Doplerov efekat je taj što kada se izvor talasa kreće ka posmatraču, svaki sledeći talasni vrh se emituje sa pozicije bliže posmatraču od vrha prethodnog talasa.

Istorija

Eksperiment Bajsa Balota (1845) prikazan na zidu u Utrehtu (2019)

Dopler je prvi put predložio ovaj efekat 1842. godine u svojoj raspravi „Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels“ (O obojenoj svetlosti binarnih zvezda i nekih drugih zvezda na nebu). hipotezu je testirao Bajs Balot za zvučne talase 1845. godine. On je potvrdio da je visina zvuka bila veća od emitovane frekvencije kada mu se izvor zvuka približio, i niža od emitovane frekvencije kada se izvor zvuka udaljavao od njega. Ipolit Fizo je nezavisno otkrio isti fenomen na elektromagnetnim talasima 1848. (u Francuskoj se efekat ponekad naziva „efet Dopler-Fizoa“, ali to ime nije usvojio ostatak sveta pošto je Fizoovo otkriće bilo šest godina nakon Doplerovog predloga). U Britaniji je Džon Skot Rasel napravio eksperimentalnu studiju Doplerovog efekta (1848).

Analiza

Važno je razumeti da se frekvencija zvuka koji izvor emituje u stvari ne menja. Kako bismo razumeli šta se dešava, razmotrimo sledeću analogiju. Neko baca po jednu loptu svake sekunde u pravcu nekog čoveka. Pretpostavimo da se lopte kreću konstantnom brzinom. Ako se osoba koja baca lopte ne pomera (kao ni osoba ka kojoj se lopte bacaju), do čoveka će po jedna lopta stizati svakog sekunda. No ako se osoba koja baca lopte kreće prema čoveku, do njega će lopte stizati češće. Suprotno važi ako se osoba koja baca lopte kreće od čoveka.

Ako pokretni izvor emituje talase kroz sredinu, stvarne frekvencije $\nu$₀, tada posmatrač koji miruje u odnosu na sredinu detektuje talase frekvencije $\nu$ date formulom:

$\nu =\nu _{0}\left({\frac {v}{v+v_{s,r}}}\right)$

gde je v brzina talasa u sredini, a v_{s, r} radijalna (duž prave koja spaja izvor i posmatrača) brzina izvora talasa u odnosu na sredinu (pozitivna ako se kreće od posmatrača, a negativna ako se kreće ka posmatraču) prema posmatraču.

Slična analiza za pokretnog posmatrača i mirujući izvor daje uočenu frekvenciju (brzina posmatrača je predstavljena kao v_o):

$\nu =\nu _{0}\left(1-{\frac {v_{0}}{v}}\right)$

gde ista konvencija važi: v_o je pozitivno ako se posmatrač udaljava od izvora, a negativno ako se posmatrač približava izvoru.

Ovo se može uopštiti u jednu vektorsku jednačinu. Uzmimo koordinatni sistem koji miruje u odnosu na sredinu, u kojoj je brzina zvuka $c$. Izvor $s$ se kreće brzinom ${\vec {v}}_{s}$ i emituje talase frekvencije $\nu _{s}$. Prijemnik $r$ se kreće brzinom ${\vec {v}}_{r}$, a jedinični vektor od $s$ do $r$ je ${\vec {n}}$ (t. j. ${\vec {r}}_{r}-{\vec {r}}_{s}={\vec {n}}|{\vec {r}}_{r}-{\vec {r}}_{s}|$). Tada se frekvencija $\nu _{r}$ koju prijemnik opaža dobija formulom

${\frac {\nu _{r}}{\nu _{s}}}={\frac {1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}_{r}/c}{1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}_{s}/c}}$

Ako je $v_{s}\ll c$, tada promena frekvencije zavisi uglavnom od relativne brzine izvora u odnosu na prijemnik:

${\frac {\nu _{r}}{\nu _{s}}}\approx 1-{\vec {n}}\cdot ({\vec {v}}_{r}-{\vec {v}}_{s})/c$

Ili, alternativno:

${\frac {\Delta \nu }{\nu _{s}}}={\frac {\nu _{r}-\nu _{s}}{\nu _{s}}}\approx -{\vec {n}}\cdot ({\vec {v}}_{r}-{\vec {v}}_{s})/c\,=-{\vec {n}}\cdot ({\Delta }{\vec {v}})/c$

Svetlosnim talasima nije potrebna sredina za prostiranje, i za tačno razumevanje Doplerovog efekta kod svetlosti je neophodna Specijalna teorija relativnosti. Vidi relativistički Doplerov efekat.

Primene

Svakodnevne pojave

Stacionarni mikrofon snima promenu tona sirene policijskog automobila dok automobil prolazi pored mikrofona.

Ton sirene policijskog automobila koji prolazi pored posmatrača u početku je viši nego kad automobil (i sirena) miruje. Kako automobil prilazi, ton sirene postaje sve dublji, i postaje dublji od tona mirujuće sirene kad automobil prođe pored slušaoca. Astronom Džon Dobson je ovaj efekat objasnio na sledeći način:

Ton sirene se postepeno menja, jer te automobil nije udario.

Drugim rečima, da je sirena prilazila posmatraču direktno, ton bi bio konstantan i viši od uobičajenog (jer je v_{s, r} samo radijalna komponenta brzine) sve dok automobil ne bi udario posmatrača, a zatim bi ton u trenutku skočio na novu, dublju vrednost. Razlika između višeg tona i tona pri mirovanju bila bi ista kao razlika između nižeg tona i tona pri mirovanju. Kako vozilo prolazi pored posmatrača, radijalna brzina nije konstantna, već se menja kao funkcija ugla između njegove linije pogleda i brzine sirene:

$v_{s,r}=v_{s}\cdot \cos {\theta }$

gde je v_s brzina objekta (izvora talasa) u odnosu na posmatrača, a $\theta$ je ugao između vektora brzine objekta i prave koja vodi od posmatrača ka objektu.

Astronomija

Crveni pomak spektralnih linija u optičkom spektru superklastera udaljenih galaksija (desno), u poređenju sa Suncem (levo).

Doplerov efekat kod elektromagnetnih talasa kao što je svetlost, od velikog je značaja u astronomiji, i dovodi do takozvanog crvenog pomaka ili plavog pomaka. Koristi se za merenje brzine kojom nam se zvezde ili galaksije primiču ili odmiču.

Doplerov efekat za svetlost je od koristi u astronomiji zahvaljujući činjenici da spektar kojim zvezde zrače nije neprekidan. Zvezde pokazuju apsorpcione linije na frekvencijama koje su u vezi sa energijama neophodnim da pobude elektrone različitih hemijskih elemenata da pređu sa jednog energetskog nivoa na drugi. Doplerov efekat je prepoznatljiv u činjenici da apsorpcione linije nisu uvek na frekvencijama koje se dobijaju kod statičnog izvora svetla. Kako plavo svetlo ima veću frekvenciju nego crveno svetlo, spektralne linije svetla koje emituju prilazeća astronomska tela se pomeraju ka plavoj, dok se spektralne linije kod tela koja se odmiču pomeraju ka crvenoj boji.

Takođe, Doplerov efekat (crveni pomak) svetlosti udaljenih galaksija poslužio je i kao osnova za formulisanje Hablovog zakona, koji danas služi za grubu procenu udaljenih svemirskih objekata.

Merenje temperature

Još jedna primena Doplerovog efekta, koja se najčešće sreće u astronomiji, je procena temperature gasa koji emituje spektralnu liniju. Usled termalnog kretanja gasa, svaki emiter može biti pomeren malo ka plavoj ili crvenoj, a ukupan efekat ovoga je širenje linije. Ovako dobijen oblik linije se naziva Doplerovim profilom, i širina linije je proporcionalna kvadratnom korenu temperature gasa. Zahvaljujući ovome možemo da koristimo ove linije za merenje temperature emitujućeg gasa udaljenih zvezda.

Radar

Glavni članak: Dopler radar

Doplerov efekat se koristi i u nekim vrstama radara, kako bi se izmerila brzina detektovanog objekta. Zrak iz radara se ispaljuje prema pokretnoj meti (na primer automobilu, jer ovakve radare često koristi policija za otkrivanje prebrze vožnje), dok se meta udaljava od radara. Svaki naredni talas mora da pređe veću razdaljinu kako bi pogodio metu, pre nego što se odbije nazad ka izvoru. Kako svaki sledeći talas putuje duže, razmak između njih se povećava, pa se povećava i talasna dužina (a frekvencija se smanjuje). Radarski zrak može da se ispaljuje i prema meti koja se približava, i u tom slučaju svaki naredni talas prelazi manju razdaljinu, pa se talasna dužina smanjuje (a frekvencija povećava).

Medicinski snimci i merenje protoka krvi

Ehokardiogram može, uz izvesna ograničenja, da proizvede tačnu procenu smera toka krvi i brzinu protoka krvi i srčanog tkiva u bilo kojoj proizvoljnoj tački putem Doplerovog efekta. Jedno od ograničenja je da ultrazvučni zrak mora biti što bliži paralelnom položaju na pravac proticanja krvi. Merenja brzine omogućavaju procenu oblasti srčanih zalisaka i funkcija, bilo kakvu abnormalnu komunikaciju između leve i desne strane srca, bilo kakvo curenje krvi kroz zaliske i bilo kakav proračun.

Merenje protoka

Instrumenti kao što su laserski i akustični Doplerov merač brzine su konstruisani kako bi se izmerila brzina toka fluida. Oba merača emituju svetlosni ili zvučni talas i mere pomak u talasnoj dužini odbijenog talasa od čestica koje teku. Stvarni protok se dobija kao funkcija brzine fluida i smera. Ova tehnika omogućuje

Literatura

• Doppler, C. (1842). Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels (About the coloured light of the binary stars and some other stars of the heavens). Publisher: Abhandlungen der Königl. Böhm. Gesellschaft der Wissenschaften (V. Folge, Bd. 2, S. 465–482) [Proceedings of the Royal Bohemian Society of Sciences (Part V, Vol 2)]; Prague: 1842 (Reissued 1903).
• "Doppler and the Doppler effect", E. N. da C. Andrade, Endeavour Vol. XVIII No. 69, January 1959 (published by ICI London). Historical account of Doppler's original paper and subsequent developments.
• Nolte, David D. (2020). „The fall and rise of the Doppler effect”. Physics Today. 73 (3): 30—35. Bibcode:2020PhT....73c..30N. S2CID 216322425. doi:10.1063/PT.3.4429. 
• Adrian, Eleni (24. 6. 1995). „Doppler Effect”. NCSA. Arhivirano iz originala 12. 5. 2009. g. Pristupljeno 2008-07-13. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Fleisch, D.; Kinnaman, L. (2015). A student's guide to waves. Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode:2015sgw..book.....F. ISBN 978-1107643260. 
• Campbell, Murray; Greated, Clive (2001). The musician's guide to acoustics (Repr. izd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198165057. 
• French, A.P. (1971). Vibrations and Waves (M.I.T. Introductory physics series). Nelson Thornes. ISBN 978-0-393-09936-2. OCLC 163810889. 
• Hall, D.E. (1980). Musical Acoustics: An Introduction. Belmont, CA: Wadsworth Publishing Company. ISBN 978-0-534-00758-4. .
• Hunt, Frederick Vinton (1978). Origins in acoustics. Woodbury, NY: Published for the Acoustical Society of America through the American Institute of Physics. ISBN 978-0300022209. 
• Ostrovsky, L.A.; Potapov, A.S. (1999). Modulated Waves, Theory and Applications. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5870-3. .
• Griffiths, G.; Schiesser, W.E. (2010). Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations: Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple. Academic Press. ISBN 9780123846532. 
• Crawford jr., Frank S. (1968). Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3), McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Free online version
• A. E. H. Love (1944). A Treatise on The Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover. 
• E.W. Weisstein. „Wave velocity”. ScienceWorld. Pristupljeno 2009-05-30. 

Spoljašnje veze

• The Doppler Effect
• Doppler Effect, ScienceWorld
• Java simulation of Doppler effect
• Doppler Shift for Sound and Light at MathPages
• The Doppler Effect and Sonic Booms (D.A. Russell, Kettering University)
• Video Mashup with Doppler Effect videos Arhivirano na sajtu Wayback Machine (7. septembar 2008)