Konjugovan kompleksan broj

Geometrijski prikaz kompleksnog broja z i njemu konjugovanog z̅ u kompleksnoj ravni.

U matematici, konjugovan kompleksan broj je broj kome je promenjen znak imaginarnog dela, tj. konjugat broja $z=a+ib$ gde $a,b\in \mathbb {R}$ je broj ${\bar {z}}=a-ib$. Često se koristi i oznaka ${\bar {z}}$.

Primer: ${\overline {(3-2i)}}=3+2i$, ${\bar {i}}=-i$ i ${\bar {7}}=7$.

Ukoliko posmatramo kompleksni broj kao tačku u ravni, konjugat kompleksnog broja bio bi predstavljen njegovim odrazom od x-ose (pošto se na y-osi nalazi imaginarni deo).

Svojstva

Svojstva se odnose na sve kompleksne brojeve ukoliko nije drugačije rečeno.

${\overline {(z+w)}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {(zw)}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ ako je w različit od 0

${\bar {z}}=z$ akko je z realan broj

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^{2}=z{\bar {z}}$

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ ako je z različit od 0

Ukoliko je $p\,$ polinom sa realnim koeficijentima, i ukoliko je $p(z)=0\,$, tada je i $p({\bar {z}})=0$, tj. koreni polinoma sa realnim koeficijentima se pojavljuju kao konjugovani kompleksni brojevi ukoliko nisu na realnoj pravoj.