Конјугован комплексан број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Геометријски приказ комплексног броја z и њему конјугованог у комплексној равни.

У математици, конјугован комплексан број је број коме је промењен знак имагинарног дела, тј. конјугат броја z=a+ib где a,b\in\mathbb R је број \bar z=a-ib. Често се користи и ознака \bar{z}.

Пример: \overline{(3-2i)} = 3 + 2i, \bar i = -i и \bar 7=7.

Уколико посматрамо комплексни број као тачку у равни, конјугат комплексног броја био би представљен његовим одразом од x-осе (пошто се на y-оси налази имагинарни део).


Својства[уреди]

Својства се односе на све комплексне бројеве уколико није другачије речено.

\overline{(z + w)} = \bar z + \bar w
\overline{(zw)} = \bar z \bar w
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w} ако је w различит од 0
\bar z = z акко је z реалан број
\left| \bar z \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = z\bar z
z^{-1} = \frac{\bar z}{{\left| z \right|}^2} ако је z различит од 0


Уколико је p\, полином са реалним коефицијентима, и уколико је p(z) = 0\,, тада је и p(\bar z) = 0, тј. корени полинома са реалним коефицијентима се појављују као конјуговани комплексни бројеви уколико нису на реалној правој.