Имагинарни број

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик bi, гдје је b реалан број различит од нуле и i имагинарна јединица за коју важи: i^2=-1.

Имагинарни број bi може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број z облика z=a+bi, код којег је a „реалан део“, а bi је „имагинарни део“. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део“ нула.

Историја[уреди]

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве. Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија“. Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број“ 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).

Геометријска репрезентација[уреди]

Complex conjugate picture.svg

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на x-оси, може се нацртати y-оса са позитивним правцом на горе. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као "i\mathbb{R}", "\mathbb{I}" или једноставно као "Im".

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са i је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правацу супротном правцу казаљке на сату). Једначина i^2=-1 се интрепретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казакље на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да -i такође решење једначине x^2=-1.

Степеновање имагинарне јединице[уреди]

Степеновање имагинарног броја i се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где n представља било који број:

  • i^{4n} = 1,
  • i^{4n+1} = i,
  • i^{4n+2} = -1,
  • i^{4n+3} = -i.,

Ово доводи до закључка да је i^n = i^{n \bmod 4}.

Види још[уреди]