Комплексан број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).

Уређени пар реалних бројева, означен са (a,b), при чему су a и b реални бројеви (a,b\in\mathbb{R}), назива се комплексан број. (Реалан број је „прост“, док је уређени пар „сложен“, или комплексан, јер га сачињавају два броја). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бројева, означавамо са \mathbb{C} и он је суштински Декартов производ \mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}. Уређени пар (a,b), као комплексан број, записује се још као a+bi. Притом се елемент i назива имагинарним бројем, и има својство да је i^2=-1. Имагинарни број се у физици често обележава и латиничним словом j.

У скупу комплексних бројева могуће је вршити операције сабирања, множења и дељења и оне се дефинишу на следећи начин:

(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)\, (сабирамо први са првим, други са другим)

(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)\, (до овог резултата је лако доћи ако их помножимо у облику (x_1+y_1 i)\cdot(x_2+y_2 i) и запамтимо да је i^2=-1)

 \frac{(x_1,y_1)}{(x_2,y_2)} = (\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}) (применимо методу као код множења, с тим што израз у имениоцу помножимо са x_2-y_2 i)

У комплексном броју z=a+bi број a се назива реални део и пише се a=Re(z), а број b је имагинарни део и пише се b=Im(z).

Комплексан број чији је реални део једнак нули назива се чисто имагинарни број.

Скуп реалних бројева може се посматрати као подскуп скупа комплексних бројева (кад је други члан уређеног пара, односно коефицијент уз i, једнак нули). Иако се комплексним бројевима не изражавају количине, као што је то случај с реалним бројевима, њихово увођење се користи у решавању проблема састављених у терминима реалних бројева, на пример, проблема о пролазу струје кроз проводник, о профилу крила авиона (користећи функције Жуковског), итд.

Није мање важна ни примена комплексних бројева на чисто математичке проблеме. Тако на пример, за налажење корена кубне једначине потребне су операције с комплексним бројевима. Историјски, комплексни бројеви су уведени због решавања квадратних једначина. Свака квадратна једначина облика ax^2+bx+c=0 има два решења у скупу комплексних бројева, док смо у скупу реалних бројева наилазили на проблем кад је у решењу облика x=(-b\plusmn\sqrt{b^2-4ac})/2a израз испод корена био негативан. Увођењем имагинарног броја са својством да је i^2=-1, корен поприма облик \sqrt{i^2|b^2-4ac|}=\sqrt{i^2}\sqrt{|b^2-4ac|}=i\sqrt{b^2-4ac} и решење добијамо у скупу комплексних бројева. Чињеница да комплексни бројеви не изражавају величине дала је повод за идеалистичко тумачење комплексних бројева (Г. Лајбниц). велика заслуга у смислу материјалистичког тумачења комплексних бројева припада Л. Ојлеру. Комплексни број се аксиоматски дефинише као уређен пар реалних бројева (a,b). Формуле сабирања, множења, дељења се постулирају овако:

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,,
(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx),
 \frac{(a,b)}{(x,y)} = (\frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2}).

Пар (0;1) се назива имагинарна јединица и означава симболом i. Из последњих формула произилази да је i^2=-1. Операције са комплексним бројевима задовољавају обичне законе комутативности, дистрибутивности и асоцијативности (као и у случају реалних бројева). Међутим, операције с комплексним бројевима под радикалима (коренима) донекле се разликују од аналогних операција с реалним бројевима. Тако је

-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1.

Тригонометријски облик[уреди]

Понекад је комплексне бројеве погодно писати у тригонометријском облику:

a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,,

 \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}, за a>0\, и  \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a} за a<0\,; када је a=0 онда је  \phi = \frac{ \pi}{2}, ако је b>0 и  \phi =- \frac{ \pi}{2}, ako je b<0. Број  \rho\, се назива модуо комплексног броја, а  \phi\, је аргумент комплексног броја.

Множити комплексне бројеве је веома погодно баш у овом облику.
у множењу комплексних бројева множе се њихови модули, а аргументи се сабирају.

 r_1(\cos \phi_1 +i \sin \phi_1) \cdot r_2(\cos \phi_2 +i \sin \phi_2) = r_1 r_2 (\cos (\phi_1 + \phi_2) +i \sin(\phi_1 + \phi_2) ) \,  .

слично је и за дељење.

 \frac{ r_1(\cos \phi_1 +i \sin \phi_1 )}{ r_2(\cos \phi_2 +i \sin \phi_2) } = \frac{r_1}{ r_2} (\cos (\phi_1 - \phi_2) +i \sin(\phi_1 - \phi_2) ) \,  .


Из овог правила произлази Моаврова формула:

(\cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\, .

Комплексни бројеви се често представљају векторима у комплексној равни (слика доле). Геометријски смисао бројева a,b, \rho,\phi види се на цртежу. У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по правилу паралелограма.

Kompleksna-ravan.gif

Дужина вектора \rho је модуо, или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу Питагорине теореме. Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система: |z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}.

Комплексни бројеви у тригонометријском облику су уско повезани с експоненцијалном функцијом имагинарног аргумента. Важи следећа Ојлерова формула:

e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,;

помоћу ње се дефинише степеновање комплексних бројева, логаритам комплексног броја и др.

Комплексни бројеви образују алгебарско затворено поље. Поље комплексних бројева је проширење поља реалних бројева придруживањем овом пољу елемента i, таквог да је i^2=-1.

Матрични облик[уреди]

 (a+ib) := \begin{bmatrix}a & -b  \\ b & a \end{bmatrix}

У матричном облику сабирање, одузимање и множење радимо тако што сабирамо, одузимамо и множимо одговарајуће матрице које представљају комплексан број.

Реципрочну вредност у овом запису рачунамо тражењем инверзне матрице. Дељење дефинишемо као множење реципрочном вредношћу.

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Комплексан број