Комплексан број

Из Википедије, слободне енциклопедије

Комплексни бројеви су у првобитној представи изрази облика $a + b i$ , где су a и $b$ реални бројеви, а $i$ симбол, при чему је $i 2 = - 1$ .

Сабирање, множење и дељење комплексних бројева дефинише се формулама:

$(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,$ , $(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,$ , $\frac{a+bi}{x+iy} = \frac{ax+by}{x^2 +y^2} + \frac{bx-ay}{x^2+y^2} \cdot i$

У комплексном броју $z = a + b i$ број $a$ се назива реални део, пише се $a = R e (z)$ , а број $b$ је имагинарни део, пише се $b = I m (z)$ .

Комплексан број чији је реални део једнак нули назива се чисто имагинарни број.

Реални бројеви представљају посебан случај комплексних бројева (кад је коефицијент уз $i$ једнак нули). Иако се комплексним бројевима не изражавају количине, као што је то случај с реалним бројевима, њихово увођење користи у решавању проблема састављених у терминима реалних бројева, на пример, проблема о пролазу струје кроз проводник, о профилу крила авиона (користећи функције Жуковског), итд.

Није мање важна ни примена комплексних бројева на чисто математичке проблеме. Тако на пример, за налажење корена кубне једначине потребне су операције с комплексним бројевима. Историјски, комплексни бројеви су уведени ради решавања квадратне једначине. Чињеница да комплексни бројеви не изражавају величине дала је повод за идеалистичко тумачење комплексних бројева (Г. Лајбниц). велика заслуга у смислу материјалистичког тумачења комплексних бројева припада Л. Ојлеру. Комплексни број се аксиоматски дефинише као уређен пар реалних бројева $(a, b)$ . Формуле сабирања, множења, дељења се постулирају овако:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,$ , $(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$ , $\frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2})$ .

Пар $(0;1)$ се назива имагинарна јединица и означава симболом $i$ . Из последњих формула произилази да је $i 2 = - 1$ . Операције са комплексним бројевима задовољавају обичне законе комутативности, дистрибутивности и асоцијативности (као и у случају реалних бројева). Међутим, операције с комплексним бројевима под радикалима (коренима) донекле се разликују од аналогних операција с реалним бројевима. Тако је

$-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1$ .

[уреди] Тригонометријски облик

Понекад је комплексне бројеве погодно писати у тригонометријском облику:

$a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,$ ,

$\rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}$ , за $a>0\,$ и $\phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}$ за $a<0\,$ ; када је $a = 0$ онда је $\phi = \frac{ \pi}{2}$ , ако је $b > 0$ и $\phi =- \frac{ \pi}{2}$ , ako je $b < 0$ . Број $\rho\,$ се назива модуо комплексног броја, а $\phi\,$ је аргумент комплексног броја.

Множити комплексне бројеве је веома погодно баш у овом облику.
у множењу комплексних бројева множе се њихови модули, а аргументи се сабирају.

$r_1( \cos \phi_1 +i \sin \phi_1 ) \cdot r_2( \cos \phi_2 +i \sin \phi_2 ) = r_1 r_2 ( \cos (\phi_1 + \phi_2 ) +i \sin( \phi_1 + \phi_2 ) ) \,$ .

слично је и за дељење.

$\frac{ r_1( \cos \phi_1 +i \sin \phi_1 )}{ r_2( \cos \phi_2 +i \sin \phi_2 ) } = \frac{r_1}{ r_2} ( \cos (\phi_1 - \phi_2 ) +i \sin( \phi_1 - \phi_2 ) ) \,$ .

Из овог правила произлази Моаврова формула:

$( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,$ .

Комплексни бројеви се често представљају векторима у комплексној равни (слика доле). Геометријски смисао бројева $a, b,ρ,φ$ види се на цртежу. У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по правилу паралелограма.

Дужина вектора $ρ$ је модуо, или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу Питагорине теореме. Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система: $|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}$ .

Комплексни бројеви у тригонометријском облику су уско повезани с експоненцијалном функцијом имагинарног аргумента. Важи следећа Ојлерова формула:

$e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,$ ;

помоћу ње се дефинише степеновање комплексних бројева, логаритам комплексног броја и др.

Комплексни бројеви образују алгебарско затворено поље. Поље комплексних бројева је проширење поља реалних бројева придруживањем овом пољу елемента $i$ , таквог да је $i 2 = - 1$ .

[уреди] Матрични Облик

$(a+ib) := \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$

У матричном облику сабирање, одузимање и множење радимо тако што сабирамо, одузимамо и множимо одговарајуће матрице које представљају комплексан број.

Реципрочну вредност у овом запису рачунамо тражењем инверзне матрице. Дељење дефинишемо као множење реципрочном вредношћу.

Комплексан број

Из Википедије, слободне енциклопедије

[уреди] Тригонометријски облик

[уреди] Матрични Облик

Прегледи

Лични алати

навигација

техничке

Print/export

Претрага

алати

Други језици