Površinski integral

Površinski integral u matematici predstavlja generalizaciju višestrukih integrala za integraciju preko površina. Može se smatrati kao dvostruki integral analogno krivolinijskom integralu. S obzirom na površinu, može se integrisati preko njenih skalarnih polja (tj. funkcija koje vraćaju skalare kao vrednosti) i vektorskih polja (tj. funkcija koje vraćaju vektore kao vrednosti).

Površinski integrali imaju primenu u fizici, delom sa teorijama klasičnog elektromagnetizma.

Površinski integral skalarnih polja[uredi | uredi izvor]

Kako bi se pronašla eksplicitna formula za površinski integral, potrebno je parametrizovati površinu interesa, S, smatrajući sistem krivolinijskih koordinata na S, kao i geografsku širinu i dužinu na sferi. Neka takva parametrizacija bude $x$ (s, t), gde (s, t) varira u nekoj oblasti T u ravni. Zatim, površinski integral je dat

\iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

gde je izraz između linija na desnoj strani veličina unakrsnog proizvoda parcijalnih izvoda $x$ (s, t) i poznat je kao površinski element. Površinski integral se takođe može izraziti u ekvivalentnom obliku

$\iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

gde je g determinanta prvog fundamentalnog oblika površinskog preslikavanja $x$ (s, t).^[1]^[2]

Na primer, ako želimo da nađemo površinu grafa neke skalarne funkcije, recimo $z=f(x,y)$ , imamo

${\displaystyle A=\iint \limits _{S}\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

gde je ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ . Tako da ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$ i ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$ sledi

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

što je standardna formula za površinu površine opisane na ovaj način. Vektor se može prepoznati u drugom redu iznad kao normalan vektor na površinu.

Treba imati na umu da, zbog prisustva unakrsnog proizvoda, gorenavedene formule vrede samo za površine ugrađene u trodimenzionalni prostor.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Edwards, C. Henry (Charles Henry), (1994). Advanced calculus of several variables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2. OCLC 31331742.
^ Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Hazewinkel, Michieldž. Dordrecht: Reidel. 1988—1994. ISBN 978-1-55608-010-4. OCLC 16755499.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

[1] Edwards, C. Henry (Charles Henry), (1994). Advanced calculus of several variables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2. OCLC 31331742.

[2] Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Hazewinkel, Michieldž. Dordrecht: Reidel. 1988—1994. ISBN 978-1-55608-010-4. OCLC 16755499.

[1]

[2]

Normativna kontrola
Državne	Češka
Ostale	Enciklopedija Britanika