Sila

Za druge upotrebe, pogledajte Sile (višeznačna odrednica).

Sila je fizička veličina kojom se opisuje mera uzajamnog delovanja tela i njegove okoline koje može uzrokovati promenu brzine, smera, pravca ili oblika tela.

Te su promene povezane i s promenom količine kretanja i/ili energije tela. Uticaj okoline na posmatrano telo može se opisivati kao direktno delovanje silom od strane konkretnih drugih tela, ili kao delovanje polja sile koje proizvode ta tela ()Polazište za razumevanje delovanja sila čine Njutnovi zakoni kretanja.

Sila ima iznos i smer: ona je vektorska veličina koja se često obeležava simbolom $\scriptstyle {\vec {F}}$. SI jedinica za iznos sile je njutn (oznaka N).

Sabiranje sila

Iako se vektorski račun razvijao tek u 18. i 19. veku, postupak zbrajanja sila po pravilu paralelograma bio je poznat još u antičko doba, a eksplicitno ga spominju i Galileo i Njutn. Na skici desno prikazano je sabiranje sila $\scriptstyle {\vec {F}}_{1}$ i $\scriptstyle {\vec {F}}_{2}$. Sile su prikazane kao usmerene duži: strelica označava smer sile, a dužina usmerene duži proporcionalna je iznosu sile (npr. 1 cm predstavlja 1 N). Zbir $\scriptstyle {\vec {F}}$ te dve sile nacrtan je kao dijagonala paralelograma (levi deo skice), što je i intuitivno razumljivo: da bi sila $\scriptstyle {\vec {F}}$ opisala zajednički učinak tih sila (što je smisao sabiranja), njen smer mora biti bliže smeru veće sile $\scriptstyle {\vec {F}}_{2}$, a iznos veći od iznosa $\scriptstyle {\vec {F}}_{2}$ jer i $\scriptstyle {\vec {F}}_{1}$ pomaže u tome „opštem“ smeru (na prikazanoj skici).

Za razliku od približne intuitivne ocene, pravilo paralelograma daje precizan rezultat, što je lako proveriti merenjem učinka sila. Taj se rezultat može približno očitati sa skice, ili na temelju skice tačno izračunati (pomoću elementarne trigonometrije).

Korisno je uočiti da se, umesto po paralelogramu, isti rezultat može dobiti „nadovezivanjem“ (desni deo skice), pri čemu je svejedno koja se usmerena dužina premesti (nadoveže) na kraj one druge. To omogućuje jednostavnije sabiranje većeg broja sila (nadovezuju se jedna na drugu, a zbir je usmerena duž koja „ide“ od početka prve do kraja zadnje). U donjem delu skice ilustrovano je sabiranje nadovezivanjem za sile koje su u istom i u suprotnom smeru.

Rastavljanje sile na komponente je obrnuti postupak od sabiranja. Za paralelogram sila sa skice može se smatrati i da prikazuje rastavu sile $\scriptstyle {\vec {F}}$ na komponente $\scriptstyle {\vec {F}}_{1}$ i $\scriptstyle {\vec {F}}_{2}$ (ako se polazi od poznate sile $\scriptstyle {\vec {F}}$ i traže njene komponente u posmatranim smerovima). Rastavljanje sila na komponente često je potrebno za razumevanje njihovog učinka i reakcije okoline, a i znatno olakšava račun.

Kotrljanje kugle niz kosinu

Za ilustraciju kako se međudelovanje opisuje silama, na skici desno prikazano je kotrljanje kugle niz kosinu (uz najjednostavnije modelovanje sila). Zemlja privlači kuglu silom $\scriptstyle {\vec {G}}$ (to je težina kugle). Kugla se ne može kretati u tome smeru jer se nalazi na podlozi, pa pritiske podlogu (skica prikazuje samo sile koje deluju na kuglu, pa sila pritiska nije prikazana; ona je jednaka komponenti težine koja je okomita na podlogu). Podloga na pritisak uzvraća silom $\scriptstyle {\vec {N}}$ koja se naziva normalnom reakcijom podloge. Zbir težine i normalne reakcije podloge je sila koja ubrzava kuglu niz kosinu; ta sila (nije nacrtana) je u stvari komponenta težine koja je paralelna s podlogom. Njoj se protivi trenje $\scriptstyle {\vec {T}}$ koje umanjuje translacijsko ubrzanje kugle niz kosinu, ali zato kugli daje ugaono ubrzanje, pa se kugla kotrlja bez proklizavanja (što je usklađena istovremena rotacija i translacija).

Iako to nije nužno za proračun kretanja kugle niz kosinu, u detaljnijoj analizi moglo bi se posmatrati kako se na mestu kontakta deformiše podloga (a i sama kugla) zbog sila kojima međusobno deluju. U još detaljnijoj analizi moglo bi se (barem u načelu) razmatrati kakvim silama prilikom te deformacije međusobno deluju pojedini molekuli i atomi od kojih se sastoje kugla i podloga, te koja je priroda tih sila i u kakvoj su one vezi s elementarnim česticama od kojih su atomi građeni.

Fizika dvadesetog veka pokazala je da se sve vrste sila mogu razložiti na četiri fundamentalne sile koje deluju na elementarne čestice (vidi odlomak o fundamentalnim interakcijama na kraju ovog članka). Analizom interakcija na tom nivou bavi se fizika elementarnih čestica. Nasuprot tome, ovaj članak bavi se uglavnom uvodnim razmatranjem pojma sile kakav je ranije izgradila klasična mehanika, i koji se i danas jednako koriste u tome području i u mnogobrojnim tehničkim primenama. Posmatra se delovanje sila (bez obzira na to koje su vrste) na različite materijalne objekte, čija nas stvarna atomska struktura ne zanima, već samo razlikujemo makroskopska tela od mikroskopski sitnih objekata koji se nazivaju česticama (a ne misli se na elementarne čestice, nego na bilo kakve vrlo male komadiće materije).

Delovanje sile na česticu

Čestica je u klasičnoj mehanici komadić materije vrlo malih dimenzija (u posmatranom kontekstu), čija unutrašnja struktura nije važna, i čiji položaj se može dobro opisati samo jednom tačkom. Kad sila deluje na česticu, ona deluje upravo u toj tački. Sila čestici daje ubrzanje (što je preciznije opisano drugim Njutnovim aksiomom). Ako na česticu deluje više sila, njeno ubrzanje se računa pomoću ukupne sile koja se dobije vektorskim sabiranjem svih sila.

Delovanje sile na telo

Telo se u klasičnoj mehanici može opisati kao skup ogromnog broja međusobno povezanih čestica (pri čemu je svejedno da li su to atomi, molekuli ili neke „apstraktne“ čestice). Sile kojima okolina deluje na telo nazivaju se spoljnim silama (pridev „spoljni“ se izostavlja ako je iz konteksta jasno o kojim se silama radi). Kad spoljna sila deluje na telo, ona može zahvatiti veći ili manji broj njegovih čestica, a njeno delovanje prenosi se na druge čestice tela zahvaljujući vezama među česticama tela. Te unutrašnje veze su takođe sile, koje se nazivaju unutrašnjim silama (preciznije: ako spoljna sila menja razmake između molekula odnosno atoma tela, elektromagnetske sile među njima suprotstavljaju se tim promenama - mada takvo preciziranje nije neophodno za klasično-mehanički opis).

Delovanje spoljne sile može imati nekoliko učinaka na slobodno telo:

1. Nezavisno od toga kako i gde zahvaća telo, sila daje ubrzanje njegovom centru mase kako je preciznije opisano drugim Njutnovim aksiomom.
2. Osim ubrzanja centra mase, sila može telu davati i ugaono ubrzanje, što zavisi od toga gde sila zahvaća telo. Slobodno telo neće dobijati ugaono ubrzanje samo kada pravac rezultantne sile prolazi kroz njegov centar mase.
3. Osim toga, sila može izazvati promenu oblika (deformaciju) tela koja se sastoji od promene udaljenosti među (nekim) česticama tela, što zavisi od toga kako i gde sila zahvaća telo. Sila može zahvatati sve čestice tela (takva se sila ponekad naziva volumenskom ili masenom silom); ako na isti način deluje na svaku od njih (kao npr. homogeno gravitacijsko polje), neće izazvati nikakvu deformaciju. Međutim, ako sila zahvata samo deo tela, ona uvek izaziva izvesnu deformaciju; pritom se, u najgrubljoj podeli, mogu razlikovati sledeći slučajevi:

• Deformacija tela je neznatna: ili se praktično ne opaža, ili je zanemariva (irelevantna) u posmatranom kontekstu. Tada se kaže da je to telo čvrsto telo. (Model ugaonog tela je najjednostavnija aproksimacija pomoću koje počinje svako tumačenje delovanja sila na telo.)
• Deformacija je elastična: promeni oblika opiru se unutrašnje sile koje telo mogu vratiti u prvobitni oblik nakon prestanka delovanja spoljne sile.
• Deformacija je plastična: promena oblika je nepovratna, jer je deformacija premašila granice elastičnosti materijala (a daljnje deformiranje može uzrokovati kidanje tela).

Detaljnijim proučavanjem deformacija bave se različite discipline kao što su nauka o čvrstoći, teorija elastičnosti, mehanika kontakta itd. Deformacije najčešće izazivaju sile koje deluju na mestu dodira dva tela (kontaktne sile). Ako dodir zahvata značajan deo površine tela, za kontaktne sile se koristi i naziv površinske sile i često se opisuju pomoću pritiska (prosečni pritisak je odnos površinske sile pritiska i površine na koju ona deluje).

Ovde se dalje ne posmatraju deformacije tela, već samo oni aspekti delovanja sile koji se odnose na promenu kretanja tela. Njih je najjednostavnije opisati ako se pretpostavlja da sile deluju na čvrsto telo.

Delovanje sile na čvrsto telo

Budući da nema deformacija, učinak sile na slobodno čvrsto telo svodi se na ubrzanje njegovog centra mase te na eventualno ugaono ubrzanje tela. Ako na telo deluje više sila, njih je dovoljno samo vektorski sabrati da bi se ubrzanje centra mase izračunalo pomoću ukupne sile. Za ugaono ubrzanje treba izračunati i momente tih sila (vidi u daljnjem tekstu).

Ako telo nije slobodno, kaže se da je vezano. To znači da je u kontaktu s nepomičnom okolinom, koji može biti ostvaren na više različitih načina: npr. oslanja se na podlogu (u koju ne može prodirati nego samo klizati po njoj), ili je postavljeno na čvrstu osovinu (koju ne može pomaknuti nego samo rotirati oko nje) itd. Spoljnim silama koje pokušavaju ubrzati telo (u ovom kontekstu kaže se da su to aktivne sile) suprotstavljaju se reakcije veza koje ograničavaju ili sprečavaju učinak aktivnih sila. Da bi se odredila promena kretanja tela, treba ravnopravno sabrati aktivne i reaktivne sile i njihove momente.

Model koncentrirane (tačkaste) sile

Sila koja deluje na česticu, deluje u jednoj tački (jer je zapremina čestice zanemarljiva), te se može smatrati da je to koncentrisana sila. Spoljna sila koja deluje na telo može zahvatiti manji ili veći broj njegovih čestica, pa je „raspoređena“ po nekoj zapremini ili površini. Za opis rotacijskog učinka sile potrebno je znati „u kojoj tački sila deluje“. Problem se tipično rešava na jedan od sledeća dva načina:

• Često je područje koje sila zahvaća srazmerno malo u odnosu na ukupne dimenzije tela, pa ga možemo dovoljno dobro opisati kao jednu tačku. Nije teško ustanoviti da li je pogreška koja nastaje takvom aproksimacijom prihvatljiva.
• Ako je takva aproksimacija neprihvatljiva (npr. očito je besmislena za težinu koja deluje po ukupnoj zapremini tela), treba „raspoređenu“ silu posmatrati kao skup sila od kojih svaka deluje na pojedinu česticu tela, te sprovesti račun za svaku od njih. U praktičnom se računu, umesto na ogroman broj diskretnih čestica, telo deli na diferencijalne elemente zapremine (ili se njegova površina deli na diferencijalne elemente površine, kod kontaktnih sila) da bi se iskoristile prednosti diferencijalnog računa. A neretko se može pokazati da je taj skup sila lako zameniti (po učinku na čvrsto telo) samo jednom koncentrisanom silom i bez stvarnog računa (kao što je slučaj upravo kod težine).

U svakom slučaju, analiza kretanja čvrstog tela uvek može poći od modela koncentriranih sila, od kojih svaka na telo deluje samo u jednoj tački.

Hvatište sile je tačka u kojoj sila deluje na telo (zahvata telo). Ta definicija podrazumeva da se radi o koncentrisanoj sili. Kad se delovanje sile na telo grafički prikazuje pomoću usmerene dužine, početak dužine (ili njen kraj, tj. strelica) postavlja se u hvatište.

Sila kao klizni vektor

Sila ubrzava slobodno telo

Polazeći od opisanih aproksimacija, skica desno ilustruje delovanje sile na slobodno čvrsto telo. Sila $\scriptstyle {\vec {F}}$ je jedina sila koja deluje na telo, i zahvaća ga u tački H (hvatište sile). Telo ima masu $\scriptstyle m$, a njegov centar mase je u tački C. Sila uzrokuje promenu kretanja tela koja je (uz pretpostavku konstantne mase tela) opisana izrazima:

${\vec {a}}={{\vec {F}} \over m}$ je ubrzanje centra masa; ${\vec {\alpha }}={{\vec {M}} \over I}$ je ugaono ubrzanje tela.

U drugoj formuli $\scriptstyle {\vec {M}}$ je moment sile, dok je $\scriptstyle I$ moment inercije tela. Moment sile u ovom slučaju treba računati u odnosu na centar mase tela:

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$ je vektor momenta sile; $\ M=Fk$ je iznos momenta sile.

Kako se vidi sa skice, $\scriptstyle {\vec {r}}$ je vektor položaja hvatišta sile u odnosu na centar mase, dok je $\scriptstyle k$ udaljenost centra masa od pravca duž kojega deluje sila $\scriptstyle {\vec {F}}$ (i zove se „krak sile“). Odatle se vidi da bi sila imala isti moment (pa bi telu davala isto ugaono ubrzanje) i kad bi joj se hvatište nalazilo bilo gde drugde na tome pravcu (jer to ne utiče na iznos kraka sile). Zato se ponekad kaže da je sila klizni vektor: njen učinak na čvrsto telo ne menja se ako joj se hvatište pomiče (kliže) duž pravca sile.

Vektor momenta sile je normalan je na ravan koju određuju sila i krak; na prikazanoj skici normalan je na ravan crteža i usmeren prema nama; vektor kutnog ubrzanja ima isti smer. U ravni skice ubrzanje je naznačeno ugaonom strelicom, suprotnog smera od kazaljki na satu; vezu između smera vektorske veličine i ravninskog zakretanja daje pravilo desne ruke.

Moment inercije $\scriptstyle I$ računa se oko ose kroz centar masa koja je paralelna s momentom sile (ovde je normalna na ravan skice). Ako skica prikazuje homogenu kružnu ploču, lako se pokaže da je taj moment inercije $\scriptstyle I=mr^{2}/2$. Ako ploča ima masu od 0,5 kg, te radijus od 0,8 m, moment inercije je 0,16 kgm². Ako sila iznosi 2 N, a krak sile 0,6 m, moment sile iznosi 1,2 Nm. U trenutku prikazanom na skici, ta sila daje ploči ugaono ubrzanje α = M/I = 7,5 rad/s², a njenom centru masa translacijsko ubrzanje a = F/m = 4 m/s².

Rezultanta

Rezultanta (ili rezultantna sila) dve ili više sila (ako postoji) je sila koja u celosti može zameniti njihov učinak na kretanje čvrstog tela. (Rezultanta ne može zameniti sile u pogledu deformacija.) Rezultanta nekog skupa sila određuje se u dva koraka:

1. Najpre se vektorskim sabiranjem posmatranih sila dobija „zbir sila“ ili „ukupna sila“, koja će uzrokovati isto ubrzanje centra masa tela kao i sve posmatrane sile zajedno. To je uvek moguće (uključujući i slučaj da je iznos ukupne sile jednak nuli).
2. Potom treba odrediti hvatište rezultante tako da ona telu daje isto ugaono ubrzanje kao i sve te sile zajedno, što znači da moment rezultante mora biti jednak zbiru njihovih momenata:

${\vec {r}}\times {\vec {F}}_{R}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i})$

gde je $\scriptstyle {\vec {F}}_{R}$ zbir sila (iz prvog koraka), koji će se zvati rezultantom tek kada se odredi njeno hvatište, opisano vektorom položaja $\scriptstyle {\vec {r}}$; pojedina sila označena je sa $\scriptstyle {\vec {F}}_{i}$ a vektor položaja njenog hvatišta sa $\scriptstyle {\vec {r}}_{i}$. Svi momenti se računaju u odnosu na istu tačku, a ona se može proizvoljno odabrati.

Određivanje položaja hvatišta rezultante neće dati jednoznačan rezultat, budući da je sila klizni vektor. Računski je najjednostavnije odrediti vektor položaja hvatišta koji je normalan na silu, tj. podudara se s krakom sile. Grafičko određivanje rezultante u tipičnim jednostavnim slučajevima prikazano je na skici dole.

Grafičko određivanje rezultante

Levi deo skice prikazuje dve sile čiji se pravci seku (kaže se: konkurentne sile). Njihov zbir (dobijen nadovezivanjem, tanka isprekidana usmerena dužina) postaje rezultanta kad se postavi na pravac koji prolazi presekom njihovih pravaca. Obrazloženje je očigledno: u odnosu na zajednički presek, moment svake sile iznosi nula, pa je moment rezultante trivijalno jednak zbiru momenata.

Srednji deo skice prikazuje dve paralelne sile i njihovu rezultantu. Položaj pravca rezultante određen je tzv. metodom lančanog poligona. (Sile se saberu nadovezivanjem; iz proizvoljne tačke povuku se linije do „početka“ i „kraja“ svake sile u tome zbiru; svaka sila, uključujući i rezultantu, time je rastavljena na po dve komponente duž konkurentnih linija; te komponente treba redom paralelno premestiti tako da se na pravcu svake sile seku one njene dve, a počinje se iz proizvoljne tačke na pravcu „prve“ sile; pravac rezultante prolazi kroz secište prve i zadnje komponente.)

Desni deo skice prikazuje dve sile koje nemaju rezultante, a kaže se da čine spreg sila.

Spreg sila

Spreg sila (ili par sila) čine dve sile jednakog iznosa a suprotnog smera koje ne leže na istom pravcu. Njihov vektorski zbir iznosi nula, ali ne i zbir njihovih momenata. Zato se ne može reći da je njihova rezultanta nula, jer rezultanta treba da opisuje ukupni učinak sila na čvrsto telo. Moment sprega sila iznosi

$\ M=Fd$ gdje je $\ d$ udaljenost između njihovih pravaca.

Za razliku od momenta pojedine sile, moment sprega ne zavisi od tačke u odnosu na koju se računa. Zato se ponekad kaže da je to „čisti moment“.

Vrste sila

Prikaz delovanja sila na klatno

U pojedinim područjima primene ponekad se koriste podele sila na različite vrste koje često nemaju „dubljeg“ fizičkog značenja, ali su prikladne u posmatranom kontekstu. Većina naziva za sile istaknutih masnim slovima u prethodnom tekstu spada u takve kontekstualne podele. Na primer, razvrstavanje sila na aktivne i reaktivne ima smisla kada je sloboda kretanja tela ograničena vezama s nepomičnom okolinom (koja na „aktivne“ sile uzvraća „silama reakcije“), ali bi bila potpuno besmislena u kontekstu sudara dva slobodna tela (jer tu nema kriterija po koje bi jedno telo bilo „aktivno“, a drugo „reaktivno“).

Na sličan način treba razumeti i podelu na tangencijalne sile i normalne sile. Ona nije usmerena na fizičku prirodu sila, nego na njihov učinak na kretanje. Pridev „tangencijalna“ samo označava da pravac sile (ili njene komponente) leži na tangenti na putanju, te zato sila izaziva promenu iznosa brzine. Pravac „normalne“ sile okomit je na putanju (ili smer mogućeg kretanja), pa može uticati samo na promenu smera brzine. Kod kretanja po kružnici, za normalnu silu koristi se naziv centripetalna sila, zato što je usmerena prema središtu kružnice.

Posebnu klasu, međutim, čine inercijalne sile. One ne postoje u referentnim sistemima koji su definisani prvim Njutnovim zakonom kretanja (ti se sistemi odlikuju svojstvom da u njima zakoni mehanike imaju najjednostavniji oblik, a nazivaju se inercijalnim ili neubrzanim sistemima). Zbog toga se inercijalne sile još nazivaju i lažnim silama ili pseudosilama. U ubrzanim sistemima opažaju se te dodatne sile, koje zahvataju telo slično kao i gravitacijska sila (proporcionalno masi tela): u vozilu koje koči inercijalna sila vuče telo napred, u rotirajućem sistemu centrifugalna sila je inercijalna sila koja vuče telo dalje od ose rotacije itd.

Prema dosadašnjim opažanjima, sve „stvarne“ sile (dakle, bez inercijalnih) mogu se u detaljnoj fizičkoj analizi redukovati na samo četiri vrste, koje se nazivaju fundamentalnim interakcijama.

Fundamentalne interakcije

Glavni članak: Fundamentalne interakcije

Četiri vrste fundamentalnih interakcija su:

• Gravitaciona sila,
• Elektromagnetna sila,
• Slaba nuklearna sila, te
• Jaka nuklearna sila.

Prve dve su odavno poznate i lako se opažaju i na velikim udaljenostima. Druge dve se opažaju samo na malim udaljenostima, otprilike u razmerima atomskog jezgra, otkrivene su tek u prošlom veku (i dobile su prilično nemaštovita imena). Jaka nuklearna sila snažno deluje među kvarkovima – česticama od kojih su građeni protoni i neutroni – pa dakle i među protonima i neutronima. Slaba deluje među kvarkovima i leptonima (od kojih je opšte poznat samo elektron) pa se opaža npr. kod beta radioaktivnog raspada.

Do pre par vekova su električna i magnetska sila posmatrane kao potpuno nezavisne sile. Tek su u 19. veku do kraja opisane veze među njima, i postalo je jasno da se radi o različitim manifestacijama jedne te iste sile. Na sličan način (mada malo komplikovaniji), povezane su sredinom 20. veka elektromagnetna i slaba nuklearna sila, te je uveden i zajednički naziv elektroslaba sila. Od tada se istražuje mogućnost da su sve četiri gore navedene sile u stvari samo različite manifestacije jedne univerzalne kosmičke sile. Danas je generalno prihvaćena teorija da zadnje tri s popisa (sve osim gravitacije) imaju zajedničko ishodište. One se manifestiraju kao jedinstvena sila, ali samo pri mnogo većim gustinama energije nego što ih danas nalazimo u prirodnoj sredini. Gravitaciona se sila od ostalih izdvaja svojom specifičnom prirodom koju je otkrila opšta teorija relativnosti. Zbog toga su malo verovatni izgledi da bi se s njima mogla „ujediniti“, iako ima i takvih teorijskih pokušaja.

Ne može se isključiti mogućnost postojanja i drugih vrsta sila koje ljudi još nisu opazili, i pored visokog stupnja saglasnosti oko fizičkih modela koji se oslanjaju na četiri navedene interakcije. Neke alternativne ili hipotetičke opcije pod nazivom peta sila spominju se u poslednje vreme u različitim kontekstima, npr. tumačenja tamne energije, ili istraživanja sudara ubrzanih čestica.

Kinematički integrali

Glavni članci: Impuls, Mehanički rad i Snaga (fizika)

Sile se mogu koristiti za definisanje brojnih fizičkih koncepta putem integracije po kinematičkim promenljivama. Na primer, integracija po vremenu daje definiciju impulsa:

${\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {F}}\mathrm {d} t},$

koja po Njutnovom drugom zakonu mora da bude ekvivalentna sa promenom momenta (što daje teoriju momenta impulsa).

Slično tome, integracija u pogledu pozicije proizvodi definiciju silom izvršenog rada:

$W=\int _{{\vec {x}}_{1}}^{{\vec {x}}_{2}}{{\vec {F}}\cdot {\mathrm {d} {\vec {x}}}},$

što je ekvivalentno promeni kinetičke energije.

Snaga P je brzina promene dW/dt rada W, kad se trajektorija produži promenom pozicije $\scriptstyle {d}{\vec {x}}$ u vremenskom intervalu dt:

${\text{d}}W\,=\,{\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}{\vec {x}}}}\,\cdot \,{\text{d}}{\vec {x}}\,=\,{\vec {F}}\,\cdot \,{\text{d}}{\vec {x}},\qquad {\text{ so }}\quad P\,=\,{\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}t}}\,=\,{\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}{\vec {x}}}}\,\cdot \,{\frac {{\text{d}}{\vec {x}}}{{\text{d}}t}}\,=\,{\vec {F}}\,\cdot \,{\vec {v}},$

gde je ${{\vec {v}}{\text{ }}={\text{ d}}{\vec {x}}/{\text{d}}t}$ brzina.

Литература

• Howland, R. A. (2006). Intermediate dynamics a linear algebraic approach (Online-Ausg. изд.). New York: Springer. стр. 255–256. ISBN 9780387280592. 
• Corben, H.C.; Stehle, Philip (1994). Classical Mechanics. New York: Dover publications. стр. 28–31. ISBN 978-0-486-68063-7. 
• Cutnell, John D.; Johnson, Kenneth W. (2003). Physics, Sixth Edition. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc. ISBN 978-0-471-15183-8. 
• Feynman, Richard P.; Leighton; Sands, Matthew (2010). The Feynman lectures on physics. Vol. I: Mainly mechanics, radiation and heat (New millennium изд.). New York: BasicBooks. ISBN 978-0465024933. 
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2010). The Feynman lectures on physics. Vol. II: Mainly electromagnetism and matter (New millennium изд.). New York: BasicBooks. ISBN 978-0465024940. 
• Halliday, David; Resnick, Robert; Krane, Kenneth S. (2001). Physics v. 1. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32057-9. 
• Nolting, Wolfgang (2008). Klassische Mechanik. In: Grundkurs Theoretische Physik; Bd. 1, 8. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-34832-0. 
• Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert J. (2010). An introduction to mechanics (3. print изд.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19821-9. 
• Feynman, Richard P. (2007). Feynman-Vorlesungen über Physik. Mechanik, Strahlung, Wärme 5., verbesserte Auflage, definitive Edition. München / Wien: Oldenbourg. ISBN 978-3-486-58444-8. 
• Parker, Sybil (1993). „force”. Encyclopedia of Physics. Ohio: McGraw-Hill. стр. 107,. ISBN 978-0-07-051400-3. 
• Sears F.; Zemansky M.; Young H. (1982). University Physics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07199-3. 
• Tipler, Paul A. (2000). Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Heidelberg / Berlin: Spektrum Akademischer Verlag. ISBN 978-3-86025-122-5. 
• Serway, Raymond A. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Philadelphia: Saunders College Publishing. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th изд.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4. 
• Bergmann, Ludwig; Schaefer, Clemens (2008). Mechanik – Akustik – Wärme. In: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 1, 12. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019311-4. 
• Verma, H.C. (2004). Concepts of Physics Vol 1. (2004 Reprint изд.). Bharti Bhavan. ISBN 978-81-7709-187-8. 

Спољашње везе

• Видео предавање о Њутновим законима
• Симулација векторског додавања сила
• Force demonstrated as any influence on an object that changes the object's shape or motion (video)
• Kraftmessung mit Hilfe des Gesetzes von Hooke. LEIFI, auf Schülerniveau.
• Kraftaddition und -zerlegung. LEIFI, auf Schülerniveau.
• Kräfte im Fach Physik für die Schule. Auf Schülerniveau.
• Flash-Animation zur Kräfteaddition. Архивирано на сајту Wayback Machine (22. april 2017) dwu-Unterrichtsmaterialien, auf Schülerniveau.
• Cornelis Harm Glimmerveen: The force of dialectics: on the logical and ontological structures concerning the concepts of force in Leibniz, Kant, and Hegel. Diss. Groningen 1992 (zum Kraftbegriff bei Leibniz, Kant und Hegel).