Брзина

Из Википедије, слободне енциклопедије

Брзина (енгл. velocity; SI ознака — \boldsymbol{\vec{v}}) је први извод вектора положаја материјалне тачке, честице, или тела у простору по времену. Представља важан концепт у кинематици (једној од грана класичне механике), која описује само како се тела крећу, не разматрајући зашто, од. узрок кретања тела (чиме се бави динамика).

Брзина је векторска физичка величина: дефинисана је и интензитетом/јачином/магнитудом и смером. Апсолутна вредност брзине представља њену скаларну вредност, тj. интензитет; овај интензитет се назива тренутном путном брзином (енгл. instantaneous speed) — физичка величина чија је SI јединица метар у секунди (ознака: m/s или m·s−1). На пример, ако се каже само „5 метара у секунди” добија се вредност скалара (не вектора), док „5 метара у секунди источно” означава вектор.

Уколико постоји промена интензитета и/или смера брзине, за материјалну тачку које подлеже таквим променама се каже да је подвргнутa убрзању и да се креће неравномерно (неравномерном/променљивом брзином).

Терминологија[уреди]

Појам брзина у најширем смислу означава промену неке величине у јединици времена. У ужем смислу (у физици), брзина је први извод вектора положаја материјалне тачке по времену. Дакле, ако се не нагласи тачно о којој величини се ради, подразумева се да је у питању физичка величина.

Међутим, појам брзине може да се дефинише за сваку промену током времена и тада треба да се нагласи на који се процес — или величину — посматрана брзина односи. На пример: брзина хемијске реакције означава колико се мења концентрација реактаната или продуката у јединици времена; брзина радиоактивног распада (нпр. aлфа-распад) означава колики се број атомских језгара распадне у јединици времена итд.

Када се у физици каже само брзина (енгл. velocity) мисли се искључиво на тренутну брзину (енгл. instantaneous velocity), док се за саму тренутну брзину, тe средњу брзину (енгл. average velocity), тренутну путну брзину (енгл. instantaneous speed), средњу путну брзину (енгл. average speed) и др. мораjу користити пуни називи како би се ти појмови са апсолутно различитим значењимa разликовали. У колоквијалном говору се за претходно споменуте називе углавном каже само — брзина, или се исти погрешно користе као синоними (слично као и са појмовима маса и тежина).

Константна брзина[уреди]

Материјалнa тачкa се на временском интервалу \Delta t=\left [ t_1, t_2 \right ] креће константном брзином \boldsymbol{v_{const.}} уколико се нити интензитет нити смер те брзине током интервала, од. између тренутака t_1 и t_2, не мењају, тј. уколико се „креће тренутном брзином” која је за све тренутке интервала једнака (има исти интензитет и смер).

Константна брзина или убрзањe[уреди]

Да би тело у одређеном временском интервалу имало константну брзину, мора имати константну тренутну путну брзину и кретати се у константном смеру. Константан смер условљава тело на праволинијско кретање (тело не скреће, креће се по једном правцу). Тиме се тело у одређеном временском интервалу креће константном брзином само ако је у том интервалу кретање по правој линији и ако sе тренутнa путна брзина током интервала не мења (једнака је средњој путној брзини).

На пример, аутомобил који се креће „константном брзином” од 20 километара на сат по кружној путањи може да има константну самo тренутну путну брзину (једнаку средњој путној брзини), али не и тренутну брзину, јер се смер кретања током обиласка кружнице мења (и то константно). Тиме се може закључити да се аутомобил уствари не креће константном брзином већ је подвргнут убрзању (центрипетално убрзање) иако је тренутнa путна брзина током кретања била константна.

Тренутнa брзинa и тренутнa путнa брзинa[уреди]

Тренутнa брзинa[уреди]

Тренутна брзина \boldsymbol{\vec{v}} је средња брзина током бесконачно малог временског интервала. Једнака је првом изводу вектора положаја (не вектора помераја) материјалне тачке по времену:

\boldsymbol{\vec{v}} = \frac{d\boldsymbol{\vec{r}}}{d\mathit{t}},

где је \boldsymbol{\vec{v}} тренутна брзина у тренутку \mathit{t} и \boldsymbol{\vec{r}} вектор положаја материјалне тачке у том истом тренутку. Ова релација дефинише тренутну брзину материјалне тачке, честице, или тела, у било којем одређеном тренутку. Како се концепт тренутне брзине на први поглед чини помало неинтуитивним, најбоље га је разумети тако да означава брзину којом би се материјалнa тачкa које убрзава наставилa кретати уколико joj брзина у одређеном тренутку постане константна.

Тренутна путна брзина[уреди]

Тренутна путна брзина (веома ретко у употреби) \boldsymbol{v}_{pt.} је једнака апсолутнoj вредности, од. интензитету тренутне брзине (првог изводa вектора положаја по времену), зато што пређени пут и интензитет вектора помераја (када исти теже у нулу) постају једнаки:

\boldsymbol{v}_{pt.}=\left|\boldsymbol{\vec{v}}\,\right\vert=\left|\frac{d\boldsymbol{\vec{r}}}{d\mathit{t}}\right\vert=\frac{d}{d\mathit{t}} \left [ \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{\hat{r}} \right ] = \frac{d\boldsymbol{r}}{d\mathit{t}}.

Тренутна путна брзина се може сматрати нагибом/градијентом тангентe на параболу графика зависности положаја тела од времена (r-t график):

\boldsymbol{v}_{pt.} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta \boldsymbol{r} \over \Delta t}.

Како је коефицијент k_{f(x)} нагиба тангентe на график функције f(x) нултог или првог степена (линеарне функције) — на линију — нагиб те линије, исти се може посматрати и као нагиб дужи ограничене двема тачкама координата (x_1, f(x_1)) и
(x_2, f(x_2)), и једнак је:

k_{f(x)} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},

тако је коефицијент l_{f'(x)} нагиба тангенте на график функције f'(x) другог или вишег степена (квадратне, кубне и др. функције) — на параболу — у тачки координатa (x, f'(x)) једнак:

l_{f'(x)} = \lim_{\Delta x \to 0}{f'(x + \Delta x) - f'(x) \over \Delta x}.

Ако се за пример узме функција r(t)=t^3+2t нагиб l_{r(t)} би био:

l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{(t+\Delta t)^3+2(t+\Delta t)-(t^3+2t) \over \Delta t}
l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{t^3+3t^2\Delta t+3t{\Delta t}^2+{\Delta t}^3+2t+2\Delta t-t^3-2t \over \Delta t}
l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{3t^2\Delta t+3t{\Delta t}^2+{\Delta t}^3+2\Delta t \over \Delta t}
l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{3t^2+3t\Delta t+{\Delta t}^2+2}
l_{r(t)} = 3t^2+2.

Добијено решење l_{r(t)} = 3t^2+2  је уствари тренутнa путнa брзинa тела (не узимајући у обзир мернe јединице) чији се положај у зависности од времена мења као r(t)=t^3+2t, у тренутку t, и представља извод функције положаја тог тела у зависности од времена управо по времену t, што би се — ако у обзир узмемо и мерне јединице — могло изразити као:

v_{pt.} = \frac{d}{d\mathit{t}} \left [ r(t) \right ] = \frac{d}{d\mathit{t}} \left [ t^3\,\mathrm{ms^{-3}}+2t\,\mathrm{ms^{-1}} \right ] = 3t^2\,\mathrm{ms^{-3}}+2 \cdot 1t^0\,\mathrm{ms^{-1}} = 3t^2\,\mathrm{ms^{-3}}+2\,\mathrm{ms^{-1}} = l_{r(t)}.

Разлика између тренутне брзине и тренутне путне брзине[уреди]

Тренутна путна брзина описује колико брзо тело мења свој положај у одређеном тренутку независно од смера кретања, док тренутна брзина описује колико брзо тело мења свој вектор положаја у одређеном тренутку (даје и смер у којем се промена векторa положаја дешава). Уколико се за аутомобл каже да у одређеном тренутку „путује 60 km/h”, тиме му је одређена само тренутна путна брзина. С друге стране, уколико се каже да аутомобил „путује 60 km/h према северу”, тада је дефинисана и тренутна брзина аутомобила и тренутна путна брзина.

Средња брзина и средња путна брзина[уреди]

Средња брзина[уреди]

Средња брзина \langle\boldsymbol{\vec{v}}\rangle је константна брзина којом би се материјална тачка требала кретати да оствари исти вектор помераја као код кретања променљивом брзином, на одређеном (истом) временском интервалу. Једнака је количнику вектора помераја и протеклог времена за који је остварен:

\langle\boldsymbol{\vec{v}}\rangle = \frac{\Delta \boldsymbol{\vec{r}}}{\Delta t}.

Средња брзина на интервалу \Delta t се може сматрати тетивом између двеју тачака са x-координатама t_1 и t_2 које одређују границе интервала за који се средња брзина рачуна.

Битна ствар за нагласити је да се реч средња не меша са појмом средња вредност или просек, јер средња брзина \boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} на интервалу \Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n не означава средњу вредност средње брзине \boldsymbol{v}_{sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} (просечну средњу брзину) са n временских интервала, већ означава количник резултујућег вектора помераја \boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} (на n претходно споменутих интервала) и једног временског интервала \Delta t_u (који би представљао збир свих претходно споменутих n интервала). До забуне може доћи уколико се уместо назива средња брзина користи назив брзина; тада би средња вредност средње брзине (просечна средња брзина) имала назив средња брзина (или просечна брзина):

\boldsymbol{\vec{v}}_{sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1}+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_2}+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_n}}{n} = \frac{\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1}}{\Delta t_1}+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_2}}{\Delta t_2}+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_3}}{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_n}}{\Delta t_n}}{n}
\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}{\Delta t_u} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1}+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_2}+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_n}}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}

Средња путна брзина[уреди]

Средња путна брзина (или, много чешће, само — путна брзина) \langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.} је константна брзина којом би се материјална тачка требала кретати да пређе исти пут као код кретања променљивом брзином, на одређеном (истом) временском интервалу. Једнака је количнику укупног пређеног пута и протеклог времена за који је пређен:

\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.} = \frac{\boldsymbol{s}_u}{\Delta t}.

Разлика између средње брзине и средње путне брзине[уреди]

Велика разлика између између средње брзине и средње путне брзине се може приметити ако се у обзир узме кретање по кружници. Уколико се тело креће по кружници променљивом тренутном путном брзином (тиме је, аутоматски, условљена и променљива тренутна брзина (која је код кретања по кружници увек променљива, што не мора значити да је истина и за тренутну путну брзину, која може бити константна уколико је једнака средњој путној брзини (уколико је тангенцијално убрзање једнако 0), и која представља интензитет тренутне брзине — скалар је)), те након одређеног временског интервала — након што направи један обртај — врати у свој почетни положај његова средња брзина на том интервалу је једнака нули (средња брзина означава којом константном брзином (и у којем смеру) би се тело требало кретати да оствари исти вектор помераја као код кретања променљивом брзином, на одређеном (истом) временском интервалу), док се средња путна брзина тела можа наћи дељењем обима круга (укупног пређеног пута) са дужином временског интервала (протеклим временом потребним да се укупни пут пређе). Ово је тачно зато што се средња брзина рачуна узимајући у обзир разлику између крајњег и почетног векторa положаја и укупно време потребно за промену тог положаја, док се за средњу путну брзину узима укупни пређени пут и потребно време да се тај пут пређе.

Средња брзина је по интензитету увек мања или једнака средњој путној брзини тела. Ово се може устврдети схваћањем да док се пређени пут увек стриктно повећава, вектор помераја се може или повећавати или смањивати.

Битна ствар за нагласити је да се реч средња не меша са појмом средња вредност или просек, јер средња путна брзина \langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} на интервалу \Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n не означава средњу вредност средње путне брзине \langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.\,sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} (просечну средњу путну брзину) са n временских интервала, већ означава количник укупног пређеног пута \boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} (на n претходно споменутих интервала) и једног временског интервала \Delta t_u (који би представљао збир свих претходно споменутих n интервала). До забуне може доћи уколико се уместо назива средња путна брзина користи назив путна брзина; тада би средња вредност средње путне брзине (просечна средња путна брзина) имала назив средња путна брзина (или просечна путна брзина):

\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.\,sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1}}+\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_2}}+\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_3}}+\,\cdots\,\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_n}}}{n} = \frac{\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1}}}{\Delta t_1}+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_2}}}{\Delta t_2}+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_3}}}{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_n}}}{\Delta t_n}}{n}
\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}}{\Delta t_u} = \frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1}}+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_2}}+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_3}}+\,\cdots\,+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_n}}}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}

Једначине кретања[уреди]

Константно убрзање[уреди]

У посебним случајевима са константним убрзањем, тренутна брзина \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} се може рачунати једначинама кретања. Узимајући \boldsymbol{\vec{a}} за убрзање једнако неком произвољном константном вектору и \boldsymbol{\vec{v}_0} за почетну брзину кретања у тренутку t_0=0 зависност тренутне брзине од времена t је дата као:

\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t.

Комбиновањем ове једначине са општом једначином зависности вектора помераја тела од времена (уврштавајући \boldsymbol{\vec{a}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{t} из претходне једначине у исту):

\boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{r}_0} + \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}

могуће је повезати вектор помераја и srednju брзину као:

\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} + \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2} \sdot t = \langle\boldsymbol{\vec{v}}\,\rangle \sdot {t},

која је у овом случају једнака средњој вредности средње брзине (просеку средње брзине), од. средњој вредности (просеку) почетне и крајње брзине.

Такође је могуће извести израз за брзину директно независан о времену и познат под именом Торичелијева једначина:

\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^{2} = \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}\cdot\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} = (\boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t)\cdot(\boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t) = \boldsymbol{\vec{v}_0}^{2}+2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^{2} - \,\boldsymbol{\vec{v}_0}^{2} = 2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2}
(2\boldsymbol{\vec{a}}) \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = (2\boldsymbol{\vec{a}}) \sdot (\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}) = 2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2} = \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2
\therefore \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 = \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 + 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}

Ово се може урадити и на други начин узимајући t=\frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} из једначине зависности тренутне брзине од времена и уврштавањем истог у општу једначину зависности вектора помераја тела од времена:

\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}
\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \left ( \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,\boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}}  \right ) ^2} {2}
\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{\boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \frac{ \left ( \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,\boldsymbol{\vec{v}_0} \right ) ^2} {\boldsymbol{\vec{a}}\,^2}}{2}
\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{\boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}\,+\,\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}} {\boldsymbol{\vec{a}}}}{2}
\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}}
\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}}
\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 = 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}
\therefore \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 = \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 + 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}

Горње једначине су валидне и за класичну механику и за специјалну релативност. Оно где се класична механика и специјална релативност разликују је у томе како различити посматрачи описују једну ситуацију. Тачније, у класичној механици сви се посматрачи слажу у вредности времена и трансформацијским правилима везаним за положај што ствара ситуацију у којој сви не-убрзавајући посматрачи описују убрзање тела истом вредношћу. Ово је другачије у специјалној релативности. Другим речима, могуће је израчунати само релативну брзину.

Величине зависне о брзини[уреди]

Кинетичка енергија тела у покрету зависи од његове брзине као:

\boldsymbol{E_k} = \frac{m \sdot \boldsymbol{v}^2}{2},

где је \boldsymbol{E_k} кинетичка енергија тела масe m када има брзину интензитета \boldsymbol{v}. Кинетичка енергија је скаларна величина јер зависи од квадрата брзине (тачкасти производ вектора, не векторски, који даје скаларну величину).

Такође везана величина импулс јесте вектор и дефинисана je као:

\boldsymbol{p}=m \sdot \boldsymbol{v},

где је \boldsymbol{p} импулс тела масе m када има брзину интензитета \boldsymbol{v}.

У специјалној релативности, бездимензиони Лоренцов фактор \boldsymbol{\gamma} се јавља доста често, и дат је изразом:

\boldsymbol{\gamma} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}}}

где је c брзина светлости.

Друга космичка брзина је минимална брзина потребна балистичком телу да напусти масивно тело као што је Земља. Представља кинетичку енергију која, када се надода на гравитациону потенцијалну енергију тела (која је увек негативна) мора бити већа или једнака нули. Генерална формула за брзину ослобађања тела на удаљености \boldsymbol{r} од центра планета масе M је:

\boldsymbol{v_2} = \sqrt{\frac{2 \sdot G \sdot M}{\boldsymbol{r}}},

где је G гравитациона константа. Брзина ослобађања са површине Земље је око 11 100 m·s−1.

Релативна брзина[уреди]

Релативна брзина је мера брзине кретања једног тела у односу на друго, одређена у једном координатном систему. Релативна брзина је један од темељних принципа и у класичној и у модерној физици, јер многи системи у физици се сусрећу са релативним кретањима двају или више тела. У класичној механици, релативна брзина је независна од одабира инерцијалног референтног система. Ово није случај и у специјалној релативности где брзине зависе о одабиру референтног система.

Ако се тело А креће брзином \boldsymbol{\vec{v}}_A, а тело B брзином \boldsymbol{\vec{v}}_B, брзина тела А у односу на брзину тела B (релативна брзина тела А и B) је дефинисана као разлика вектора ових двеју брзина:

\boldsymbol{\vec{v}}_{AB} = \boldsymbol{\vec{v}}_A - \boldsymbol{\vec{v}}_B.

Слично, релативна брзина тела B које се креће брзином \boldsymbol{v}_B у односу на тело А које се креће брзином \boldsymbol{v}_A je:

\boldsymbol{\vec{v}}_{BA} = \boldsymbol{\vec{v}}_B - \boldsymbol{\vec{v}}_A.

Најчешће се узима инерцијални систем у којем као да једно тело мирује, док се друго креће релативном брзином у односу на њега.

Скалари[уреди]

У једнодимензионалном случају, брзине се могу разматрати као скалари, а једначине кретања:

\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_A - \left(-\boldsymbol{v}_B\right),   ако се тела крећу у супротним смеровима, или:
\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_A - \left(+\boldsymbol{v}_B\right),   ако се тела крећу у истом смеру.

Поларне координате[уреди]

Код поларних координата, дводимензионална брзина се описује као радијална брзина, дефинисана као компонента брзине од исходишта или према исходишту (такође позната и као енгл. velocity made good) или угаона брзина која представља први извод вектора угаоног положаја тела по времену (са позитивним величинама за смер супротан смеру казаљки на сати, и негативним за смер једнак смеру казаљки на сати, у систему десног завртња).

Радијална и угаона брзина се могу извести из вектора брзине и вектора помераја у ДКС-у, растављањем вектора брзине на тангенцијалну и нормалну компоненту. Нормална брзина је компонента брзине дуж кружнице усмерена ка њеном центру.

Укупна брзина тела које се креће по кружници је:

\boldsymbol{\vec{v}}=\boldsymbol{\vec{v}}_N+\boldsymbol{\vec{v}}_T,

где је \boldsymbol{v}_N нормалнa брзина, a \boldsymbol{v}_T тангенцијалнa брзинa.

Интензитет тангенцијалне брзине је тачкасти прoизвод вектора брзине и јединичног вектора у смеру помераја:

\boldsymbol{v}_T = \boldsymbol{\vec{v}} \sdot \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|} = \boldsymbol{\vec{v}} \sdot \boldsymbol{\hat{r}},

где је \boldsymbol{\vec{r}} вектор положаја.

Интензитет нормалне брзине је векторски производ вектора брзине и јединичног вектора у смеру помераја , или — производ интензитета угаоне брзине \boldsymbol{\omega} и интензитета вектора положаја:

\boldsymbol{v}_N = \boldsymbol{\vec{v}} \times \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|} = \boldsymbol{\vec{v}} \times \boldsymbol{\hat{r}} = \frac{|\boldsymbol{\vec{v}}\times\boldsymbol{\vec{r}}\,|}{\boldsymbol{\vec{r}}} = \boldsymbol{\omega} \sdot |\boldsymbol{\vec{r}}\,| = \boldsymbol{\omega} \sdot \boldsymbol{r},

тако да је:

\boldsymbol{\omega}=\frac{|\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\vec{r}}\,|}{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|^2}.

Угаони момент у скаларном облику је производ масе, положаја (удаљености од исходишта) и нормалне брзине, или еквивалентно — производ масе, квадрата положајa и интензитета угаоне брзине:

\boldsymbol{L}= m \sdot \boldsymbol{r} \sdot \boldsymbol{v}_T = m \sdot \boldsymbol{r}^2 \sdot \boldsymbol{\omega},

где је m маса, a \boldsymbol{r}=|\boldsymbol{\vec{r}}\,| интензитет вектора положаја.

Израз \ m \boldsymbol{r}^2\ је познат под именом момент инерције.

Ако су силе у радијалном смеру само у обрнутој квадратној зависности, као што је то случај са гравтитационом орбитом, угаони момент је константан, а нормална брзина обрнуто пропорционална удаљености, угаона брзина обрнуто пропрционална квадрату удаљености, а извод по којем је површина вађена је константан. Ове релације су познате као Кеплерови закони планетарног кретања.

Види још[уреди]