Јединична матрица

Из Википедије, слободне енциклопедије

Јединична матрица је у линеарној алгебри назив за квадратну матрицу којој су елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле. Ова матрица се још назива идентичном, јер у производу са другим матрицама даје управо њих као резултат множења тј. не мења их. Ова матрица се означава великим латиничним словом E а индекс који може и не мора да стоји поред ознаке означава димензију исте. Ознака за матрицу идентичног пресликавања је Id или само I.


E_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
E_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
E_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
E_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Што се такође може дефинисати и Кронекеровом делтом:

E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}},

где је:

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
 1 &, i=j\\
 0 &, i \neq j
\end{matrix}\right.\quad\mbox{sa }i,j\in\{1,\ldots,n\}

Алтернативни записи су:

E_{ij} = \delta_{ij} \!
E = (\delta_{ij}) \!

Особине[уреди]

Множење[уреди]

Једна од битних особина јединичне матрице En неког простора Kn × n је да је она једина за коју важи:

EA = AE = A, \; A \in K^{n \times n}

Штавише, види се да је матрица над простором Kn × n комутативна тј. није битно да ли се њоме множи слева или здесна. Ово не важи за просторе Kn × m, m ≠ n, где се овом матрицом може множити само слева односно само здесна.

Из ове особине такође следи и:

AA^{-1} = A^{-1}A = E \!

Пример:

\begin{bmatrix}
  2 & 3 & -2 \\
  1 & 1 & 3 
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  2 & 3 & -2 \\
  1 & 1 & 3 
\end{bmatrix}

Детерминанта и инверз[уреди]

Детерминанта ове матрице је увек 1, док је она сама себи инверзна.

|E| = 1 \!
E = E^{-1} \!

Друга особина се може доказати на следећи начин:

EE^{-1} = E \!, опште правило које важи за све матрице
E^{-1}EE^{-1} = E^{-1}E \!, множење слева са E-1
\underbrace{E^{-1}E}_{E}E^{-1} = \underbrace{E^{-1}E}_{E}, матрица помножена својим инверзом увек даје E
\underbrace{EE^{-1}}_{E^{-1}} = E, матрица помножена јединичном даје саму себе
E^{-1} = E \!, доказ завршен