Јединична матрица

Из Википедије, слободне енциклопедије

Јединична матрица је у линеарној алгебри назив за квадратну матрицу којој су елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле. Ова матрица се још назива идентичном, јер у производу са другим матрицама даје управо њих као резултат множења тј. не мења их. Ова матрица се означава великим латиничним словом E а индекс који може и не мора да стоји поред ознаке означава димензију исте. Ознака за матрицу идентичног пресликавања је Id или само I.

Што се такође може дефинисати и Кронекеровом делтом:

,

где је:

Алтернативни записи су:

E_ij = δ_ij

E = (δ_ij)

[уреди] Особине

[уреди] Множење

Једна од битних особина јединичне матрице E_n неког простора K^{n × n} је да је она једина за коју важи:

Штавише, види се да је матрица над простором K^{n × n} комутативна тј. није битно да ли се њоме множи с лева или с десна. Ово не важи за просторе K^{n × m}, m ≠ n, где се овом матрицом може множити само с лева односно само с десна.

Из ове особине такође следи и:

AA ^{− 1} = A ^{− 1}A = E

Пример:

[уреди] Детерминанта и инверз

Детерминанта ове матрице је увек 1, док је она сама себи инверз.

| E | = 1

E = E ^{− 1}

Друга особина се може доказати на следећи начин:

EE ^{− 1} = E, опште правило које важи за све матрице

E ^{− 1}EE ^{− 1} = E ^{− 1}E, множење с лева са E^-1

, матрица помножена својим инверзом увек даје E

, матрица помножена јединичном даје саму себе

E ^{− 1} = E, доказ завршен