Детерминанта

Из Википедија

У алгебри, детерминанта је функција која зависи од n, која додељује скаларну вредност, det(A), свакој n×n квадратној матрици A. Детерминанте су важне и у анализи, где су неопходне за увођење смена код функција више променљивих, као и у мултилинеарној алгебри.

За фиксиран позитивни цео број n, постоји јединствена функција детерминанте за n×n матрице над било којим комутативним прстеном R. Специјално, ова функција постоји када је R поље реалних или комплексних бројева.

[уреди] Нотација

Детерминанта матрице A се такође некада означава и као $| A |$ . Ова нотација може да буде двосмислена, јер се такође користи и за одређене норме матрице и за апсолутну вредност. Међутим, норма матрице се често означава са две вертикалне црте (тј. $\|\cdot\|$ ). Стога се оваква нотација (помоћу вертикалних црта) врло често користи. На пример, за матрицу

$A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}\,$

детерминанта $det(A)$ се може означити као $| A |$ или експлицитније као

$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}.\,$

То јест, угласте заграде се замењују вертикалним цртама.

[уреди] Детерминанте матрица димензије 2-са-2

Површина паралелограма је детерминанта матрице која се добија од вектора који представљају странице паралелограма.

Матрица димензије 2×2

$A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,$

има детерминанту

$\det(A)=ad-bc.\,$

Интерпретација када матрица има чланове који су реални бројеви је да даје оријентисану површину паралелограма са теменима (0,0), (a,b), (a + c, b + d), и (c,d). Оријентисана површина је иста као и уобичајена површина, осим што је негативна када се темена поређају у правцу казаљке на сату.

Формуле за веће матрице су дате испод.

[уреди] Детерминанте матрица димензије 3-са-3

Матрица димензије 3×3

$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}.$

Коришћењем развоја по кофакторима на првој врсти матрице, добијамо:

$\det(A)=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix} -b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix} +c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg.$

Ово је једнако

$\det(A)=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb,\,$

што се лако може запамтити као збир производа елемената три дијагоналне линије које воде од северозапада до југоистока, минус збир производа елемената три дијагоналне линије које воде од југозапада до североистока, када се прве две колоне матрице препишу поред матрице као што је показано испод:

$\begin{matrix} a&b&c&a&b\\ d&e&f&d&e\\ g&h&i&g&h \end{matrix}$

Овај мнемоник не важи за матрице виших димензија.

[уреди] Примене

Детерминанте се користе за описивање инвертибилних матрица (то су матрице чије детерминанте су различите од нуле), и да се експлицитно опише решење система система линеарних једначина помоћу Крамеровог правила. Такође се могу користити и за проналажење сопствене вредности матрице $A$ помоћу карактеристичног полинома

$p(x) = \det(xI - A) \,$

где је I јединична матрица исте димензије као и A.

Понекад се матрица посматра као додела броја сваком низу од $n$ вектора у $\Bbb{R}^n$ , коришћењем квадратне матрице чије су колоне дати вектори. Имајући ово у виду, знак детерминанте базе се може користити да се дефинише појам оријентације у Еуклидском простору.

Детерминанте се користе да се израчунају запремине у векторској анализи: апсолутна вредност детерминанте реалних вектора је једнака запремини паралелепипеда који граде ти вектори. Као последица, ако је линеарно пресликавање $f: \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{R}^n$ представљено матрицом $A$ , и $S$ је било који мерљиви подскуп од $\Bbb{R}^n$ , онда је запремина $f (S)$ једнака $\left| \det(A) \right| \times \operatorname{zapremina}(S)$ . Општије, ако је линеарно пресликавање $f: \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{R}^m$ представљено $m$ -са- $n$ матрицом $A$ , и $S$ је било који мерљиви подскуп од $\Bbb{R}^{n}$ , онда је $n$ -димензиона запремина од $f (S)$ једнака $\sqrt{\det(A^\top A)} \times \operatorname{zapremina}(S)$ .

[уреди] Општа дефиниција и рачунање

Дефиниција детерминанте потиче од следеће теореме:

Нека M_n(K) означава скуп свих $n \times n$ матрица над пољем K. Постоји тачно једна функција

$F : M_n(K) \longrightarrow K$

са следећа два својства:

$F$ алтернира мултилинеарно у односу на колоне;
$F (I) = 1$ .

Детерминанта се може дефинисати као јединствена функција са наведеним својствима.

У доказивању горње теореме, такође се добија Лајбницова формула:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}.$

Сума се рачуна над свим пермутацијама $σ$ бројева {1,2,...,n} а $sgn(σ)$ означава знак пермутације $σ$ : +1 ако је $σ$ парна пермутација, а −1 ако је непарна.

Ова формула садржи $n!$ (факторијел) сабирака, и стога је непрактична када је $n$ велико.

За мале матрице се добијају следеће формуле:

ако је $A$ матрица димензије 1-са-1, онда $\det(A) = A_{1,1}. \,$

ако је $A$ матрица димензије 2-са-2, онда $\det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2}. \,$

за матрице $A$ димензије 3-са-3, формула је комликованија:

$\begin{matrix} \det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\ & & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}. \end{matrix}\,$

У општем случају, детерминанту можемо израчунати коришћењем Гаусове елиминације помоћу следећих правила:

Ако је $A$ троугаона матрица, тј. $A_{i,j} = 0 \,$ када год је $i > j$ или алтернативно када год је $i < j$ , онда $\det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n} \,$ (производ дијагоналних чланова матрице $A$ ).
Ако се матрица $B$ добија од матрице $A$ заменом места двема врстама или колонама, онда $\det(B) = -\det(A). \,$
Ако се матрица $B$ добија од матрице $A$ множењем једне врсте или колоне бројем $c$ , онда $\det(B) = c\,\det(A). \,$
ако се матрица $B$ добија од матрице $A$ додавањем умношка једне врсте другој, или једне колоне другој, онда $\det(B) = \det(A). \,$

Експлицитно, ако се пође од неке матрице, могу се користити последња три правила да се она трансформише у троугаону матрицу, а зарим је помоћу прва три правила лако израчунати њену детерминанту.

Такође је могуће разложити детерминанту дуж неке врсте или колоне, коришћењем Лапласовог развоја, који је ефикасан за релативно мале матрице. Како бисмо разложили матрицу дуж врсте $i$ , пишемо

$\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}$

где $C i, j$ представља матрицу кофактора, то јест, $C i, j$ је једнако $( - 1) i + j$ пута минор $M i, j$ , који је детерминанта матрице која се добије када се из матрице $A$ уклони $i$ -та врста и $j$ -та колона.

[уреди] Пример

Претпоставимо да желимо да израчунамо детерминанту матрице

$A = \begin{bmatrix2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}.$ }-

Можемо директно да искористимо Лајбницову формулу:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-2\cdot 1 \cdot -1) + (-3\cdot -1 \cdot 0) + (2\cdot 3\cdot 2)$
		$- (-3\cdot 1 \cdot 2) - (-2\cdot 3 \cdot 0) - (2\cdot -1 \cdot -1)$
	$=\,$	$2 + 0 + 12 - (-6) - 0 - 2 = 18.\,$

Такође, можемо да искористимо Лапласов развој дуж врсте или колоне. Најбоље је изабрати врсту или колону са што више нула, па бирамо другу колону:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{bmatrix1&3\\ 2 &-1\end{bmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{bmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{bmatrix}$ }-
	$=\,$	$(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3))$
	$=\,$	$(-2)(-5)+8 = 18.\,$

Трећи начин (најпрактичнији за веће матрице) би користио Гаусов алгоритам. Када се рачун врши ручно, обично се поступак може значајно скратити додавањем умножака колона или врста другим колонама или врстама; ово не мења вредност детерминанте, а даје нуле које упрошћавају каснија рачунања. У овом случају, додавање друге колоне првој је врло корисно:

$\begin{bmatrix}0&2&-3\\ 0 &1 &3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}$

и ова детерминанта се може брзо разложити по првој колони:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det \begin{bmatrix}2&-3\\ 1&3\end{bmatrix}$
	$=\,$	$2\cdot(2\cdot3-1\cdot(-3)) = 2\cdot 9 = 18.\,$

[уреди] Својства

Детерминанта је мултипликативно пресликавање у смислу да

$\det(AB) = \det(A)\det(B) \,$ за све n-са-n матрице

A

B

Лако је видети да је $\det(rI_n) = r^n \,$ и стога

$\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A) \,$ за сваку n-са-nматрицу

A

и за сваки скалар

r

Матрица над комутативним прстеном R је инвертибилна ако и само ако је њена детерминанта јединица у R. Специјално, ако је A матрица над пољем као што су реални или комплексни бројеви, онда је A инвертибилна акко је det(A) различита од нуле. У овом случају имамо

$\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}. \,$

Изражено на други начин: вектори v₁,...,v_n у Rⁿ формирају базу акко det(v₁,...,v_n) није једнако нули.

Матрица, и њена транспонована матрица имају исту детерминанту:

$\det(A^\top) = \det(A). \,$

Детерминанте комплексне матрице, и њој конјговано транспоноване матрице су конјуговане:

$\det(A^*) = \det(A)^*. \,$

Детерминанта матрице $A$ испољава следећа својства у односу на елементарне трансформације матрице $A$ :

Замена места врстама или колонама множи детерминанту са −1.
Множење врсте или колоне са $m$ множи детерминанту са $m$ .
Додавање умношка врсте или колоне другој врсти или колони не мења детерминанту.

Ако су $A$ и $B$ сличне матрице, то јест, постоји инвертибилна матрица $X$ , таква да $A$ = $X - 1 B X$ , онда по мултипликативном својству,

$\det(A) = \det(B). \,$

Због овога, детерминанта неке линеарне трансформације T : V → V за неки коначно димензиони векторски простор V не зависи од базе за V. Овај однос је једносмеран: постоје матрице чије детерминанте су исте, али оне нису сличне.

[уреди] Извод

Детерминанте реалних квадратних матрица су полиномијалне функције са $\Bbb{R}^{n \times n}$ на $\Bbb{R}$ , и као такве су увек диференцијаблине. Њихов извод се може изразити помоћу Јакобијеве формуле: