Gradijent

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
За друго значење, погледајте чланак Gradijent (вишезначна одредница).
Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnim i belim područjima, s tim da crna odgovaraju većim vrednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje ima pravac najvećeg porasta skalarnog polja, odnosno, čiji je intenzitet najveća promena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta[уреди]

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem \phi, tako da je u svakoj tački (x,y,z) temperatura \phi(x,y,z) (pretpostavićemo da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazaće smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, takođe, može koristiti da se izmeri kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40%. Ako, međutim, put ide oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao između puta u pravcu uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž puta, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija[уреди]

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije f(x) po vektorskoj varijabli x = (x_1,\dots,x_n) se označava kao \nabla f ili \vec{\nabla} f gde \nabla (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka \operatorname{grad}(f) se, takođe, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije f. To jest:

 \nabla f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right).

Skalarni proizvod vekora (\nabla f)_x\cdot v gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoću gradijentne teoreme. Suprotno, nerotaciono vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije[уреди]

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

U cilindričnim koordinatama:

\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial \rho}},  
{\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix}

(gde je \theta azimutalni ugao, a z je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial r}},  
{\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, 
{\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}}
\end{pmatrix}

(gde je \theta azimutni ugao, a \phi je zenitni ugao).

Svojstva=[уреди]

\ \nabla ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha \nabla \phi + \nabla \psi
 \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) \
\frac{1}{2} \nabla A^2 = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}

Primer[уреди]

Na primer, gradijent u pravouglim koordinatama

f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)

je:

\nabla f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2}, 
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}.

Gradijent i izvod ili diferencijal[уреди]

Linearna aproksimacija funkcije[уреди]

Gradijent funkcije f iz Euklidovog prostora \mathbb{R}^n u \mathbb{R} i bilo kojoj tački x0 u \mathbb{R}^n karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sledeći način:

 f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)

za x koje je blizu x_0, gdje je (\nabla f)_{x_0} gradijent funkcije f izračunat u x_0, gde tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu \mathbb{R}^n.

Vidi još[уреди]

Reference[уреди]

  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. 

Литература[уреди]

Literatura[уреди]