Gradijent

За друго значење, погледајте чланак Gradijent (вишезначна одредница).

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnim i belim područjima, s tim da crna odgovaraju većim vrednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje ima pravac najvećeg porasta skalarnog polja, odnosno, čiji je intenzitet najveća promena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem $\phi$, tako da je u svakoj tački $(x,y,z)$ temperatura $\phi(x,y,z)$ (pretpostavićemo da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazaće smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, takođe, može koristiti da se izmeri kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40%. Ako, međutim, put ide oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao između puta u pravcu uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž puta, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije $f(x)$ po vektorskoj varijabli $x = (x_1,\dots,x_n)$ se označava kao $\nabla f$ ili $\vec{\nabla} f$ gde $\nabla$ (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka $\operatorname{grad}(f)$ se, takođe, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije $f$. To jest:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right).$

Skalarni proizvod vekora $(\nabla f)_x\cdot v$ gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoću gradijentne teoreme. Suprotno, nerotaciono vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

$\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

U cilindričnim koordinatama:

$\nabla f(\rho, \theta, z) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial \rho}}, {\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}$

(gde je $\theta$ azimutalni ugao, a $z$ je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

$\nabla f(r, \theta, \phi) = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial r}}, {\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}}, {\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}} \end{pmatrix}$

(gde je $\theta$ azimutni ugao, a $\phi$ je zenitni ugao).

Svojstva=

$\ \nabla ( \alpha \phi + \psi ) = \alpha \nabla \phi + \nabla \psi$

$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) \$

$\frac{1}{2} \nabla A^2 = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}$

Primer

Na primer, gradijent u pravouglim koordinatama

$f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)$

je:

$\nabla f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.$

Gradijent i izvod ili diferencijal

Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije $f$ iz Euklidovog prostora $\mathbb{R}^n$ u $\mathbb{R}$ i bilo kojoj tački x₀ u $\mathbb{R}^n$ karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x₀. Ta aproksimacija se zapisuje na sledeći način:

$f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)$

za $x$ koje je blizu $x_0$, gdje je $(\nabla f)_{x_0}$ gradijent funkcije f izračunat u $x_0$, gde tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu $\mathbb{R}^n$.

Vidi još

• Rotor
• Divergencija
• Laplasov operator
• Elektrohemijski gradijent
• Muzički izomorfizam
• Operator nabla
• Operator Sobel
• Stepen (nagib)
• Nagib
• Površinski gradijent

Reference

1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.