Купа (геометрија)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Права (лево) и коса кружна купа (десно)

Купа (или конус) је геометријско тело. Може се дефинисати као геометријско место тачака које чини све дужи између елипсе, која се налази у једној равни, и тачке, која се налази изван те равни. Ова елипса се још назива база купе, а тачка њено теме.

Права која пролази кроз теме и центар базе купе се назива њеном осом. Уколико је ова права и нормална на базу купе, купа се назива правом. У супротном се ради о косој купи.

Растојање између темена купе, и његове пројекције на раван базе купе се назива висином купе.

Свака дуж која спаја теме и неку од ивичних тачака базе се назива изводницом купе. Код праве купе све изводнице имају једнаку дужину док код косе купе постоје највише две изводнице са истом дужином.

Површина купе[уреди]

Површина купе се увек рачуна као збир површина њеног омотача и њене базе. Омотач купе је скуп свих дужи које спајају теме купе са ивицом основице купе. У случају да је база круг, његова ивица би била кружница.

Површина праве кружне купе[уреди]

Размотавањем омотача праве купе се може установити да се ради о одсечку круга, који за полупречник има дужину s изводнице купе. Покривени угао се према пуном кругу (тј. ) односи као обим базе купе према обиму круга са полупречником s, што би дало следећи израз:

P_o = s^2 \pi \cdot \frac{2\pi r}{2\pi s} = s^2 \pi \cdot \frac{r}{s} = rs\pi

кружни исјечак

Исти резултат можемо добити и на сљедећи начин.

Размотавањем омотача праве купе добија се исјечак круга полупречника s са централним углом θ. Када је централни угао у радијанима, површина и дужина лука кружног исјечка су

I = \frac12 \theta s^2, \ l = \theta s.

Смотан у купу, лук исјечка постаје кружница обима 2, па имамо

\theta s = 2r \pi \ \Rightarrow \ \theta = \frac{2r\pi}{s},

што уврштавањем у израз за површину кружног исјечка даје

I = \frac12 \cdot \frac{2r\pi}{s} \cdot s^2 = rs\pi = P_o.

Површина базе је површина круга полупречника r, што износи Pb = r²π. Збир ове две вредности даје површину купе:

P = P_o + P_b = rs\pi + r^2\pi = r\pi(s+r)

Примјер. Висина праве купе је h. Наћи површину купе, ако је њен омотач у развијеном облику кружни исјечак са централним углом θ = 120°.

Рјешење: Дати централни угао изражен у радијанима је

\theta = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}3.

Дужина лука исјечка и обим базе купе су једнаки, тј.

\theta s = 2r\pi \ \Rightarrow \ r = \frac{s}3.

Питагорина теорема даље даје

h^2 = s^2 - r^2
= s^2 - \left(\frac{s}3 \right)^2
= \frac89 s^2,

те је

s^2 = \frac98 h^2, \ r^2 = \frac18 h^2.

Иначе, површина кружног исјечка полупречника s, овдје омотача (Po) купе, и површина базе (Pb) купе су

P_o = \frac12 \theta s^2, \ P_b = r^2 \pi,

Па је површина купе у овом примеру:

P = P_o + P_b
= \frac12 \cdot \frac{2\pi}3 \cdot \frac98 h^2 + \frac18 h^2 \pi
= \frac{\pi}2 h^2.

Запремина купе[уреди]

Запремина купе се увек може представити као трећина производа површине њене базе са растојањем темена од равни у коме се налази база. Ово растојање се још зове и висина купе.

V = \frac{1}{3}P_b h

Пример може бити кружна купа код које је Pb = r²π. Из претходног израза следи да је запремина ове купе:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} r^2\pi h

Запремина косе и праве елиптичне купе се разликује само у бази:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} ab\pi h

Примјер. Површина праве купе је P. Изводница је нагнута према равни основе под углом φ. Израчунати запремину купе.

Рјешење: Полупречник базе купе и висина купе изражени помоћу изводнице и угла нагиба су

r = s \cos \varphi, \ h = s \sin \varphi.

Површина и запремина купе, изражене на исти начин су

P = r(s + r)\pi = s^2 \pi \cos \varphi (1 + \cos \varphi ),
V = \frac13 r^2 \pi h = \frac13 s^3 \pi \cos^2 \varphi \sin \varphi.

Из прве једнакости изразимо s и уврстимо у другу

V = \frac13 \cdot \frac{P \sqrt{P}}{\sqrt{\cos \varphi (1 + \cos \varphi)}} \cdot \frac{\cos \varphi \sin \varphi}{1 + \cos \varphi}.

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Купа (геометрија)