Елипса

Из Википедија

За стилску фигуру, погледајте Елипса (књижевност)

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостатак) је у математици крива затворена линија у равни, која се може дефниисати као геометријско место тачака чији је збир растојања од две фиксиране тачке увек једнак. Ове две тачке се још називају фокусима елипсе, а тачка која се налази тачно између њих је центар елипсе.

Елипса има два пречника (полупречника) који представљају минимално и максимално растојање њених тачака од њеног центра.

Осе елипсе су праве које садрже њене пречнике. Прва пролази кроз обе фокусне тачке, а друга пролази кроз њен центар, и нормална је на прву.

Уколико су фокусне тачке елипсе једна те иста тачка, ради се о специјалном случају елипсе, који се назива круг.

[уреди] Аналитичка дефиниција

Аналитички посматрано, елипса је крива другог реда:

$f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\,$ (општа једначина криве другог реда)

Која задовољава следеће услове:

$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\ \alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\ \alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33} \end{vmatrix} \neq 0$
$\delta = \begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12} \\ \alpha _{12} & \alpha _{22} \\ \end{vmatrix} > 0$
За реалну елипсу: $T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0$
За имагинарну елипсу (празан скуп): $T \cdot \Delta > 0$

Уколико су осе елипсе паралелне са осама декартовог координатног система, ова једначина изгледа овако:

$\alpha _{11} x^2 + \alpha _{22} y^2 - \alpha _{33} = 0\,$

Што се може записати и као

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

У овој једначини су a и b у ствари величине полупречника елипсе.

[уреди] Површина

Површина елипсе је:

P = a b π

где су a и b полупречници елипсе, а пи математичка константа.

[уреди] Ексцентрицитет

Ексцентрицитет је константа карактериситична за сваку елипсу. Представља минимално растојање фокусне тачке елипсе од елипсе, дуж осе. Израчунава се као:

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

где су a и b дужине полупречника елипсе. Уколико се са c означи растојање између фокусних тачака елипсе, e ће бити:

$e = \frac{c}{a}$

[уреди] Обим

Обим елипсе се може представити на разне начине:

Бесконачни редови:

$O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,$