Елипса

Из Википедије, слободне енциклопедије

За стилску фигуру, погледајте Елипса (књижевност)
збир растојања једне тачке на елипси (у овом случају тачке X) од два фокуса елипсе је увек једнак (тј. растојање означено плавом бојом је константно за било коју тачку на елипси)

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостатак) је у математици крива затворена линија у равни, која се може дефинисати као геометријско место тачака чији је збир растојања једне тачке на елипси од две фиксиране тачке увек једнак (види слику). Ове две тачке се још називају фокусима елипсе, а тачка која се налази тачно између њих је центар елипсе.

Елипса има два пречника (полупречника) који представљају минимално и максимално растојање њених тачака од њеног центра, и називају се осе елипсе. Осе елипсе су две праве које садрже њене пречнике. Прва, већа, пролази кроз обе фокусне тачке, а друга, мања пролази кроз њен центар, и нормална је на прву. Половина веће полуосе се назива велика полуоса, и у астрономији се користи као један од орбиталних параметара који описује путању неког небеског тела.

Уколико су фокусне тачке елипсе једна те иста тачка, ради се о специјалном случају елипсе, који се назива круг.

Садржај

[уреди] Аналитичка дефиниција

Аналитички посматрано, елипса је крива другог реда:

f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\, (општа једначина криве другог реда)

Која задовољава следеће услове:


  1. \Delta = \begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\ \alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\ \alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33} \end{vmatrix} \neq 0


  2. \delta = \begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12} \\ \alpha _{12} & \alpha _{22} \\ \end{vmatrix} > 0

  3. За реалну елипсу: T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0
    За имагинарну елипсу (празан скуп): T \cdot \Delta > 0

Уколико су осе елипсе паралелне са осама декартовог координатног система, ова једначина изгледа овако:

\alpha _{11} x^2 + \alpha _{22} y^2 - \alpha _{33} = 0\,

Што се може записати и као

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

У овој једначини су a и b у ствари величине полупречника елипсе.

[уреди] Површина

Површина елипсе је:

P = abπ

где су a и b полупречници елипсе, а пи математичка константа. До формуле за површину се дошло израчунавањем помоћу интеграла.

[уреди] Ексцентрицитет

Ексцентрицитет је константа карактеристична за сваку елипсу. Представља минимално растојање фокусне тачке елипсе од елипсе, дуж осе. Израчунава се као:

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

где су a и b дужине полупречника елипсе. Уколико се са c означи растојање између фокусних тачака елипсе, e ће бити:

e = \frac{c}{a}

[уреди] Обим

Обим елипсе се може представити на разне начине:

Бесконачни редови:

O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Што је исто што и:

O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}

Добру апроксимацију ове вредности је направио Рамануџан:

O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Која се такође може записати као:

O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,

У специјалном случају, када је мања оса дупло мања од веће осе, важи:

O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,

- Добављено из „http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%B0“