Лапласова једначина

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласова једначина' је елиптичка парцијална диференцијална једначина другога реда облика:

\qquad \nabla^2 \varphi = 0

Решења Лапласове једначине су хармоничке функције. Лапласова једначина је значајна у математици, електромагнетизму, астрономији и динамици флуида.

Дефиниција[уреди]

У три демензије Лапласива једначина може да се прикаже у различитим координатним системима. У картезијевом координатном систему је облика:

 \Delta f =
{\partial^2 f\over \partial x^2 } +
{\partial^2 f\over \partial y^2 } +
{\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.

У цилиндричном координатном систему је:

  \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left(r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0

У сферном координатном систему је:

 \Delta f = {1 \over \rho^2}{\partial \over \partial \rho}\!\left(\rho^2 {\partial f \over \partial \rho}\right)
  \!+\!{1 \over \rho^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
  \!+\!{1 \over \rho^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} =0.

У закривљеном координатном систему је:

 \Delta f = {\partial \over \partial \xi^i}\!\left({\partial f \over \partial \xi^k}g^{ki}\right)
  \!+\!{\partial f \over \partial \xi^j}g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,

илиr

 \Delta f = {1 \over \sqrt{|g|}}{\partial \over \partial \xi^i}\!\left(\sqrt{|g|}g^{ij}{\partial f \over \partial \xi^j}\right) =0,
\quad (g=\mathrm{det}\{g_{ij}\}).

Дводимензионални систем[уреди]

У поларном координатном дводимензионалном систему је облика:

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0

У дводимензионалном картезијевом систему је:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0


Гринова функција[уреди]

Лапласова једначина се често решава уз помоћ Гринове функције и Гринова теорема:

\int_V (\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi) dV=\int_S (\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma.

Дефиниција Гринове функције је:

\nabla^2 G(x,x')=\delta(x-x').

Уврстимо у Гринов теорем \psi=G па добијамо:


\begin{align}
& {} \quad \int_V \left[ \phi(x') \delta(x-x')-G(x,x') \nabla^2\phi(x')\right]\ d^3x' \\[6pt]
& = \int_S \left[\phi(x')\nabla' G(x,x')-G(x,x')\nabla'\phi(x')\right] \cdot d\hat\sigma'.
\end{align}

Сада можемо да решимо Лапласову једначину \nabla^2\phi(x)=0 у случају Нојманових или Дирихлеових рубних услова. Узимајући у обзир:

\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}=\phi(x)

па се једначина своди на:

\phi(x)=\int_V G(x,x') \rho(x')\ d^3x'+\int_S \left[\phi(x')\nabla' G(x,x')-G(x,x')\nabla'\phi(x')\right] \cdot d\hat\sigma'.

Када нема рубних услова Гринова функција је:

G(x,x')=\dfrac{1}{|x-x'|}.

Литература[уреди]

  • Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Лапласова једначина