Минимални полином

Из Википедије, слободне енциклопедије

У различитим областима математике, минимални полином објекта a јесте у одређеном смислу нормирани полином p најмањег могућег степена такав да је p(a) = 0. Посебно је значајан појам минималног полинома у линеарној алгебри и теорији поља.

Линеарна алгебра[уреди]

У линеарној алгебри, минимални полином квадратне матрице A је монични полином p најмањег могућег степена такав да је

p(A) = 0.

Свака матрица A има једнозначно одређен минимални полином; он се најчешће означава са μA. Минимални полином матрице дели сваки од полинома који је поништавају, тако да се може одредити и као њихов највећи заједнички делилац, односно као монични генератор главног идеала

p ∈K[X] : p(A) = 0 } = (μA)

у прстену полинома K[X].

Сличне матрице имају једнаке минималне полиноме. Минимални полином линеарног оператора L јесте минимални полином ма које од његових матрица (које су све међусобно сличне); истовремено, то је и монични полином p најмањег степена такав да је p(L) = 0.

Минимални и карактеристични полином матрице имају једнаке скупове нула, при чему са могућно различитим вишеструкостима. Други начин да се искаже ово својство јесте релација

μA | φA | μAn.

Релација μA | φA је последица Кејли-Хамилтонове теореме, према којој је φA(A) = 0. На основу овог својства, минимални полином матрице се у пракси најчешће налази тако што се прво израчуна и на чиниоце разложи њен карактеристични полином, а затим се минимални полином тражи међу његовим делитељима са истим скупом нула. Минимални полином квадратне матрице реда n је степена највише n.

Минимални полином, својствене вредности и канонски облици матрице[уреди]

Нуле карактеристичног, па дакле и минималног, полинома матрице су њене својствене вредности. Посебно, ако n × n матрица има n различитих својствених вредности λ1, λ2, ..., λn, тада се њен минимални и карактеристични полином подударају и оба су једнака

(X − λ1)⋅(X − λ2) … (X − λn).

Општије, свака матрица има Жорданову нормалну форму, једнозначно одређену до на редослед блокова, по неколико њих за сваку својствену вредност матрице, и која јој је слична, те тако има исти минимални и карактеристични полином. Ако матрица A има својствене вредности λ1, λ2, …, λk са алгебарским вишеструкостима r1r2, …, rk (тако да је r1 + r2 + ... + rk = n), и ако су, за свако 1 ≤ i ≤ k, ν1(i) ≤ ν2(i) ≤ …, ≤ νsi(i) димензије Жорданових блокова који одговарају својственој вредности λi (тако да је ν1(i) + ν2(i) + ... + νsi(i) = ri), тада је

\phi_A=(X-\lambda_1)^{r_1}(X-\lambda_2)^{r_2}\cdots(X-\lambda_k)^{r_k}, \mu_A=(X-\lambda_1)^{\nu_{s_1}(1)}(X-\lambda_2)^{\nu_{s_2}(2)}\cdots(X-\lambda_k)^{\nu_{s_k}(k)}.

Посебно се минимални и карактеристични полином матрице подударају ако и само ако свакој њеној својственој вредности одговара по тачно један Жорданов блок, односно ако и само ако су геометријске вишеструкости свих својствених вредности (за својствену вредност λi то је si, број одговарајућих Жорданових блокова) једнаке 1.

Матрица је дијагонализабилна над неким пољем F ако и само ако је њен минимални полином производ различитих линеарних фактора над F.

Матрице код којих се минимални и карактеристични полином подударају се погодно карактеришу и као управо матрице које су сличне некој цикличној матрици; линеарни оператори који одговарају таквим матрицама се и сами називају цикличним операторима. Општије, ако су A1A2, ...., Al канонски циклични блокови матрице A и φ1 | φ2 | ... | φl њихови карактеристични (и истовремено минимални) полиноми, тзв. инваријантни делитељи матрице A, тада је

φA = φ1φ2...φl,  μA = φl.

Уопштења[уреди]

Коришћењем теорије Галуа се установљава да минимални полиом матрице не зависи од поља над којим се она посматра: ако је K потпоље неког поља L и A матрица над пољем K, тада је минимални полином матрице A као матрице над пољем K истовремено и њен минимални полином као матрице над пољем L.

Минимални полином се дефинише и за матрице над ма којим главноидеалским прстеном S као генератор идеала полинома који поништавају матрицу A у прстену полинома S[X], за који се доказује да је онда и сам главноидеалски; у том случају он је дефинисан једнозначно до на множење јединицама прстена S.

Минимални полином се такође може дефинисати и за линеарне операторе L на просторима произвољне (могућно бесконачне) димензије као монични полином p најмањег степена такав да је p(L) = 0, ако такав полином постоји. На пример, у функционалној анализи, сваки оператор пројекције P у простору произвољне димензије је идемпотентан, па задовољава једначину P2 − P = 0. Стога је његов минималан полином увек један од полинома X (за оператор пројекције на нула-потпростор), X −1 (за идентични оператор) или X2 − X (за све остале операторе пројекције).